「集合・位相入門」輪読会★2

168：たま ◆U4RT2HgTis：2005/06/09(木) 18:59:48: >>164
＞正確には「順序の反射律と「=」の対称律より」ですね.
「=」の対称律をどう使うのかいまいちわかんないです。
反射律よりb≦bでb=b"だから、右辺または左辺のbをb"にしてもよくて、
b≦b",b"≦bって感じで考えたんですけど。

＞注3は、mn個からなる整列集合は順序同型を除いて1つしかないことによるわけですね.
そです。そういえばよかったんですね。

>>165
>>156はちょっと書き間違えがひどいですね。
きっとながなが打ってたから疲れていたんです。と、言い訳してみたりｗ
書き直しをはっときます。

(4.5)
　ordA=μ,ordB=ν,ordB'=ν'とする
　ν＜ν'より∃b'_0∈B';B～B'<b'_0>なので
　∃f:B→B'<b'_0>　順序同型写像
　g:A×B→(A×B')<(minA,b'_0)>を次のように定める。
　g(a,b)=(a,f(b))
　このように定めたgは順序同型写像になる。
　実際、(A×B')<minA,b'_0>={(a,b')∈(A,B')|(a,b')＜(minA,b'_0)}であり、
　b'＜b'_0⇒(a,b')＜(minA,b'_0)⇒(a,b')∈(A×B')<(minA,b'_0)>
　またb'=b'_0ならば∀a∈A；minA≦aより、(minA,b'_0)≦(a,b')
　故に(A×B)<minA,b'_0>={(a,b')∈(A,B')|b'＜b'_0}={(a,b')∈(A,B')|b'∈B'<b'_0>}
　従って、gは全射。
　また、(a_1,b_1)≦(a_2,b_2)⇔(b_1＜b_2)∨(b_1=b_2∧a_1≦a_2)
　　　　　　　　　　　　　　⇔(f(b_1)＜f(b_2))∨(f(b_1)=f(b_2)∧a_1≦a_2)　(∵fが順序単射)
　　　　　　　　　　　　　　⇔(a_1,f(b_1))≦(a_2,f(b_2))
　　　　　　　　　　　　　　⇔g(a_1,b_1)≦g(a_2,b_2)
　従って、gは順序同型写像
　故に、A×B～(A×B')<(minA,b'_0)>となるのでμν＜μν’ //

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