「集合・位相入門」輪読会★2

146：Мечислав(☆9) ◆QRDTxrDxh6：2005/05/27(金) 23:40:04: お待たせしました。
>>137のやり直し.
(4.3)の証明.A,A',Bをそれぞれ順序数がμ,μ',νである整列集合であるとする.
A∩B=Φ,A'∩B=Φを満たすものが取れる.
さらにA,A'はA⊂A'となるように取れる.
μ＜μ'だからA'<a>とAが順序同型となるようなAの元aが取れる.
ordA'<a>=ordA＜ordA'であるのでA'<a>をAと考えればよい.
C=A∪BをAの上にBを並べて作った整列集合,
C'=A'∪BをA'の上にBを並べて作った整列集合とする.
Cのいかなる切片もC'と順序同型になりえない事を言えばよい.
c∈AならordC<c>=ord{x|x∈C∧x＜c}=ord{x|x∈A∪B∧x＜c}
=ord{x|x∈A∧x＜c}=ordA<c>.>>113よりordA<c>＜ordA=μ.
仮定よりμ＜μ'=ordA'.(4.2)と0+μ=μ+0=μよりordA'=ordA'+0＜ordA'+ordB'=ordC'.
したがってordC<c>＜ordC'.
c=minBならordC<c>=ordA=μ＜μ'=μ'+0＜μ'+ordB'=ordC'.
c∈B-{minB}でordC<c>=ordC'であるとすると,
(4.2)の証明中で示したのと同様に
ordC<c>=ord(A∪(B<c>)).
またordC'=ord(A'∪B)であるので
A'∪BからA∪(B<c>)への順序同型写像fがあるはずだが,
g=f|(A∪B)とおくと,終集合を拡張してgはA∪BからA∪B自身への順序単射と
見ることができるが,g(c)∈A∪B<c>となるのでg(c)＜cとなる.これは
http://jbbs.livedoor.jp/bbs/read.cgi/study/4125/1078049875/915
に反する.■

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