「集合・位相入門」輪読会★2

134：Мечислав(☆9) ◆QRDTxrDxh6：2005/05/22(日) 04:34:39: μもνも有限順序数ならa_0<a_1<…<a_(μ-1),b_0<b_1<…<b_(ν-1)として
μ=ord{a_0,a_1,…,a_(μ-1)},ν=ord{b_0,b_1,…,b_(ν-1)}
a_0<a_1<…a_(μ-1)<b_0<b_1<…<b_(ν-1)とすると
μ+ν=ord{a_0,a_1,…,a_(μ-1),b_0,b_1,…,b_(ν-1)}となり有限順序数の和は
自然数の和と一致します.

Aが整列集合ならA∪ΦとΦ∪AとAは整列集合としてみな等しいので,
μを順序数とするとμ+0=0+μ=μとなります.

ただ一般には,順序数の和は交換可能とは限りません.
たとえばN∪{★}に,N内では通常の自然数の大小で,Nの元と★の間には,
すべてのNの元よりも★の方が大きいとして,順序を入れる整列集合と,
{★}∪Nに,N内では通常の自然数の大小で,Nの元と★の間には,
すべてのNの元は★より大きいとして,順序を入れる整列集合を考えることにより,
ω+1≠1+ωとなります.実際,f(1)=★,2以上のNの元nに対してf(n)=n-1で
(N∪{★})<★>から{★}∪Nへの写像fを定めると,このfは順序同型写像となります.
したがってhttp://jbbs.livedoor.jp/bbs/read.cgi/study/4125/1078049875/916
と>>113により1+ω=ord({★}∪N)=ord(N∪{★})<★>＜ord(N∪{★})=ω+1となります.

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