俺に数学を教えてください - 1110674207

118：green （xQkqlhqM）：2005/03/18(金) 11:44:45: >>116
なるほど。納得です。>>59 に
「x 座標が小さい方を P 、x 座標が大きい方を Q とおくと」
という一言が必要だったわけですね。

>117
スレのそのあたりまではなんとか読んでて分かったのですが、
あとはさっぱり…
119：green （xQkqlhqM）：2005/03/18(金) 23:57:38: 今日は√y 6　を解いた。これはスラスラできた。
多分あってるし記述も問題ないと思うので、ここに書くまでもないと判断。
また明日来ます。ｍ（＿　＿）ｍ
120：臺地 （qpPuO9q2）：2005/03/19(土) 00:17:07: 俺は問題投下に徹するか・・・
ところで2(3)って解答ここに書いた？

類題ﾌﾟﾚｾﾞﾝﾂ
OA=OC=BC=2、AB=1、AC=√3、OB=√2をみたす四面体OABCを考える
(1)△ABCを底面と見たときの四面体OABCの高さを求めよ
(2)四面体OABCの外接球の半径を求めよ
121：Мечислав(☆9) （DTxrDxh6）：2005/03/19(土) 05:56:32: >>119
できるなら記述を見てみたかったです。
一応見比べてください。

√y 6
関数：f(x)=2x^3+3(2a-1)x^2-12ax-48a+1 がある。ただし，aは正の定数とする。
(1) f(x)の極大値，極小値をそれぞれaを用いて表せ。
(2) f(x)の極大値を最小にするaの値を求めよ。
(3) f(x)の極大値と極小値の差が27であるとき，y=f(x)の変曲点の座標を求めよ。
122：Мечислав(☆9) （DTxrDxh6）：2005/03/19(土) 05:56:54: 解答
(1)　f'(x)=2*3x^2+2*3(2a-1)x-2*3*2=2*3{x^2+(2a-1)x-2a}=6(x-1)(x+2a),
a>0より-2a<1.これらよりxの関数f(x)は(-∞, -2a)で増加, (-2a, 1)で減少.
したがってf(x)は極大値f(-2a)=-2^4a^3+2^2*3(2a-1)a^2+12a*2a-48a+1=8a^3+12a^2-48a+1と
極小値f(1)=2+3(2a-1)-12a-48a+1=-54aをとる.

(2)　f(x)の極大値をg(a)とおくと(1)よりg(a)=8a^3+12a^2-48a+1.
g'(a)=24a^2+24a-48=24(a^2+a-2)=24(a-1)(a+2).
よってaの関数g(a)は(0, 1)で減少, (1, ∞)で増加.
したがってg(a)はa=1のとき最小となる.

(3)　f(x)の極大値と極小値の差をh(a)とおくと(1)より
h(a)=|(8a^3+12a^2-48a+1)-(-54a)|=|8a^3+12a^2+6a+1|, a>0だから
h(a)-27=(8a^3+12a^2+6a+1)-27=2(4a^3+6a^2+3a-13)=2(a-1)(4a^2+10a+13).
a>0よりf(x)の極大値と極小値の差を27にするaの値はa=1.
このときf(x)=2x^3+3x^2-12x-47, f'(x)=6(x-1)(x+2), f''(x)=6(2x+1).
よって関数y=f(x)のグラフは区間(-2, -1/2)で減少, 上に凸, 区間(-1/2, 1)で減少, 下に凸.
f(-1/2)=-1/4+3/4+6-47=-81/2より関数y=f(x)のグラフの変曲点の座標は(-1/2, -81/2).
123：green （xQkqlhqM）：2005/03/19(土) 12:30:14: >>122
(1)と(2)は全く同じです。
(3)について質問が。
h(a)=|(8a^3+12a^2-48a+1)-(-54a)|　と絶対値をつけておられますが、
絶対値は必要なんでしょうか？　(極大値) > (極小値) なので、単に
(極大値) - (極小値) = 27 としたのですが…。
124：green （xQkqlhqM）：2005/03/19(土) 12:36:49: >>120
＞ところで2(3)って解答ここに書いた？
そういえばまだでした。こけ氏の解答を見てしまったので…。

＞類題　
やってみます。
125：Мечислав(☆9) （DTxrDxh6）：2005/03/19(土) 12:40:03: >>123
ｆ(x)が三次関数のときは極大値が極小値より大きいのですが
一般には極大値と極小値の大小はいちいち調べないと分からなかったりします。
この問題の場合は絶対値がなくたって、嘘は書いてないのですが、
「三次関数だから」って書いて絶対値を省略するのはちょっと憚られるのです。
極値をもつ三次関数が極大>極小となるのは、増減表を書いてみてわかることであって
直接の理由にはなってないし、かといって簡潔で適切な説明を考えるのも
邪魔くさいし、となると初めから絶対値つけておけば、そんなヤヤコシイことは
考えなくてすむと思ったのです。
126：green （xQkqlhqM）：2005/03/19(土) 12:43:55: ＞一般には極大値と極小値の大小はいちいち調べないと分からなかったりします。
なるほど、そういえばそうですね。
127：green （xQkqlhqM）：2005/03/20(日) 00:04:05: >>120ができた。
明日書きます。
128：green （xQkqlhqM）：2005/03/20(日) 12:33:26: OA=OC=BC=2、AB=1、AC=√3、OB=√2をみたす四面体OABCを考える
(1)△ABCを底面と見たときの四面体OABCの高さを求めよ
(2)四面体OABCの外接球の半径を求めよ
129：green （xQkqlhqM）：2005/03/20(日) 12:47:05: (1)△ABC　は 1 ： 2 ： √3 の三角形だから、∠BAC = 90°. よって、
A(0 , 0 , 0) , B(1 , 0 , 0) , C(0 , √3 , 0) と設定できる。
O(x , y , z) , (z > 0) とおくと、
OA^2 = x^2 + y^2 + z^2 = 4 　………(★)
OB^2 = (x - 1)^2 + y^2 + z^2 = 2 ……(♪)
OC^2 = x^2 + (y - √3)^2 + z^2 = 4 ……(☆)
(★) - (♪) より、2x - 1 = 0
(★) - (☆) より、2√3*y - 3 = 0
よって、 x = 3/2 , y = √3/2　だから、(★)より、
z^2 = 4 - 9/4 - 3/4 = 1 , ∴ z = 1
よって、△ABCを底面と見たときの四面体OABCの高さは 1 .
130：green （xQkqlhqM）：2005/03/20(日) 12:56:36: (2)
外接球の中心を I(p , q , r) とおくと、
IA = IB = IC = IO より、
(p - 1)^2 + q^2 + r^2 = p^2 + q^2 + r^2 ⇔ -2p + 1 = 0 ⇔ p = 1/2
p^2 + (q - √3)^2 + r^2 = p^2 + q^2 + r^2 ⇔ -2√3*q + 3 = 0 ⇔ q = √3/2
(p - 3/2)^2 + (q - √3/2)^2 + (r - 1)^2 = p^2 + q^2 + r^2
⇔ -3p -√3q - 2r + 9/4 + 3/4 + 1 = 0
これに上の p , q の値を代入して解くと、 r = 1/2
∴I(1/2 , √3/2 , 1/2)
∴半径 = √(1/4 + 3/4 + 1/4 ) = √(5/4) = √5/2 .
131：臺地 （qpPuO9q2）：2005/03/20(日) 13:04:06: >>129-130
正解です。簡単だったかな。でもベクトルでやると死にます。
適切な解法をすぐに選べる能力ってすごく大切だと思う。

ちなみに(1)でz>0とできる理由は、対称性からというだけでは実はまずいんですが
(zが正のときと負のときの四面体の位置関係は、完全な面対称でなく、化学で出てくる
光学異性体みたいなかんじだから)そこらへんは多分不問でしょう。
132：green （xQkqlhqM）：2005/03/20(日) 13:14:15: なるほど、参考になりました。下の3行が特に。
133：臺地 （qpPuO9q2）：2005/03/20(日) 13:15:41: これだったら何で解く？

座標空間に3点A(5,-3,4)、B(2,-2,2)、C(-2,-1,1)がある。また、平面ABC上にDを、
直線BCに関してAとDが同じ側にあり、△BCDが正三角形となるようにとる。
(1)Dの座標を求めよ
(2)B,C,D,Eが正四面体の4頂点となるように点Eをとるとき、Eの座標を求めよ。
134：green （xQkqlhqM）：2005/03/20(日) 13:19:10: 少し時間を下さい。
135：green （xQkqlhqM）：2005/03/20(日) 13:35:19: 2次元だったら複素数を使ってBC↑をAの方に60°回転させればよさそうなんだけど…
空間座標はどう考えていいのやら　(；´Д｀)
136：green （xQkqlhqM）：2005/03/20(日) 13:39:39: D(x , y , z) とおいて、平面ABC　の方程式を求めて、
DB = DC = BC を解くのかな？
137：臺地 （qpPuO9q2）：2005/03/20(日) 13:40:34: 自分の知らない知識がいるんじゃないかと正体不明に見える問題ほど、今まで勉強してきた
基本に忠実に、泥臭くやると案外上手くいくことがおおい希ガス。
結構時間かかるかもしれないけどもしよければ解いてみてください。
138：green （xQkqlhqM）：2005/03/20(日) 13:45:46: 分かりました。休憩と他教科をはさんで、もうちょっと考えてみます。
解ける解けないにかかわらず、明日また来ます。
139：臺地 （qpPuO9q2）：2005/03/20(日) 13:51:53: green氏、絶対>>3に書いてあるのよりは実力あると思うから解けるよ。ｶﾞﾝｶﾞﾚ
他教科の調子はどうですか？ちなみ理科は物化？
140：green （xQkqlhqM）：2005/03/20(日) 16:03:54: そうです、物理と化学です。

あと、(1)が途中までできたので今から書きます。
141：green （xQkqlhqM）：2005/03/20(日) 16:04:18: 座標空間に3点A(5,-3,4)、B(2,-2,2)、C(-2,-1,1)がある。また、平面ABC上にDを、
直線BCに関してAとDが同じ側にあり、△BCDが正三角形となるようにとる。
(1)Dの座標を求めよ
(2)B,C,D,Eが正四面体の4頂点となるように点Eをとるとき、Eの座標を求めよ。
142：green （xQkqlhqM）：2005/03/20(日) 16:13:32: (1)
BA↑ = (3 , - 1 , 2)
BC↑ = (-4 , 1 , - 1)
BA↑ と BC↑ は平行ではないので、平面BAC上の点P は、p , q を実数として
BP↑ = p*BA↑ + q*BC↑　と書ける。成分表示すると、
BP↑ = p(3 , - 1 , 2) + q(-4 , 1 , - 1) = (3p - 4 , - p + q , 2p - q)　となる。
また、BC^2 = 4^2 + 1^2 + 1^2 = 18
143：green （xQkqlhqM）：2005/03/20(日) 16:27:59: BD↑ = (3p - 4 , - p + q , 2p - q)　とすると、
CD↑ = (3p , p - q + 1 , 2p - q + 1)
|BD↑|^2 = (3p - 4)^2 + (- p + q)^2 + (2p - q)^2 = 18 ……(★)
|CD↑|^2 = (3p)^2 + (p - q + 1)^2 + (2p - q + 1)^2 = 18 ……(☆)
これを解けばよい。

(☆) ⇔ (3p)^2 + (p - q )^2 + (2p - q)^2 +2(p - q) + 2(2p - q) + 2 = 18
⇔ (3p)^2 + (p - q )^2 + (2p - q)^2 + 6p - 4q =16 ……(☆)’

(★) ⇔ (3p)^2 + (p - q )^2 + (2p - q)^2 -24p = 2 ……(★)’

(☆)’ - (★)’ より、
- 30p + 4q = -14 ⇔ 2q = 15p - 7 ⇔ q = 15/2*p -7/2
144：green （xQkqlhqM）：2005/03/20(日) 16:38:01: (★)*4 ⇔　4(3p - 4)^2 + (- 2p + 2q)^2 + (4p - 2q)^2 = 72
これに　2q = 15p - 7　を代入して、
4(3p - 4)^2 + (13p - 7)^2 + (11p - 7)^2 = 72
326p^2 - (96 + 182 + 154)p +(64 + 49 + 49) = 72
326p^2 - 432p + 90 = 0
163p^2 - 216p + 45 = 0
p = {108 ±√(108^2 - 163*45)}/163 = {108 ±√(11664 - 7335)}/163 = {108 ±√(4329)}/163
　= (108 ±3√481)/163
145：green （xQkqlhqM）：2005/03/20(日) 16:49:05: OD↑ = OC↑ + CD↑ = (- 2 , - 1 , 1) + (3p , p - q + 1 , 2p - q + 1)
　　　= (3p - 2 , - p + q - 2 , 2p - q + 2)

3p - 2 = (- 2 ±9√481)/163
- p + q - 2　= - p + (15/2*p -7/2) - 2 = 13/2*p - 11/2 = (1404 ±39√481)/326 - 1793/326 = (- 389 ±39√481)/326
2p - q + 2 = 2p - (15/2*p -7/2) + 2 = -11/2*p + 3/2 = (-1188 干 33√481)/326 + 489/326 = (-699干33√481)/326
146：green （xQkqlhqM）：2005/03/20(日) 16:53:46: ここまでやって力尽きた。(；´Д｀)
＋の方をとるのか－の方をとるのかが分からなかったし、
そもそも答えがあってるのかどうか…
上の解答が合ってるとして、(2)の方針を考えてみたが、
>>100-105 ほどでないにしろ、計算が激しくなりそう。
147：臺地 （qpPuO9q2）：2005/03/20(日) 23:30:09: ん・・・答えはかなり簡単な形になるよー
どこか計算ミスしたんじゃないかな
148：green （xQkqlhqM）：2005/03/20(日) 23:38:15: やっぱりそうですか、、、
どこでミスったんだろ？
149：green （xQkqlhqM）：2005/03/20(日) 23:49:21: 　
｡ﾟ(ﾟ´Д｀ﾟ)゜｡ｳｧｧｧﾝ
150：green （xQkqlhqM）：2005/03/20(日) 23:50:33: CD↑ = (3p , -p + q - 1 , 2p - q + 1)

y 座標がミスってたけど、符号逆なだけだし…
151：臺地 （qpPuO9q2）：2005/03/21(月) 00:07:12: >>142
＞BP↑ = p(3 , - 1 , 2) + q(-4 , 1 , - 1) = (3p - 4 , - p + q , 2p - q)　
3p - 4 qですね。
152：臺地 （qpPuO9q2）：2005/03/21(月) 00:17:08: (3p - 4)^2 + (- p + q)^2 + (2p - q)^2 = 18 ……(★)
を展開したときに、「あれ？なんでpの一次式があるんだろ？BP↑ = p*BA↑ + q*BC↑
っておいたんだからp，qの同次式になるはずなのに・・・」って思えればミスを後で回避
できるようになるよー
153：green （xQkqlhqM）：2005/03/21(月) 00:36:07: PC切ってから >>151-152 のミスに気付きました。

＞p，qの同次式になるはずなのに

これに気付いた！ここで「おかしい」ともっと速くチェックしたかった(；´Д｀)
でも、上のこけさんの問題とかと合わせていい計算練習になりました。

やり直した結果、p = 3 , q = 2 となって、
答えは D(-1 , -3 , 6) .

今度は合ってそうな気がするが…。
明日(2)とも合わせて書き直します。
154：green （xQkqlhqM）：2005/03/21(月) 00:36:58: 臺地さんthanks
155：green （xQkqlhqM）：2005/03/21(月) 01:06:34: まだ間違ってた。

p = 3 , q = 3 で
D(- 1 , - 2 , 5) .
156：臺地 （qpPuO9q2）：2005/03/21(月) 10:43:06: >>155
それでおｋ。正式な答案よろしくね
157：green （xQkqlhqM）：2005/03/21(月) 12:54:08: 141 名前： green （xQkqlhqM）投稿日： 2005/03/20(日) 16:04:18

座標空間に3点A(5,-3,4)、B(2,-2,2)、C(-2,-1,1)がある。また、平面ABC上にDを、
直線BCに関してAとDが同じ側にあり、△BCDが正三角形となるようにとる。
(1)Dの座標を求めよ
(2)B,C,D,Eが正四面体の4頂点となるように点Eをとるとき、Eの座標を求めよ。
158：green （xQkqlhqM）：2005/03/21(月) 12:55:06: [解答]
(1)
BA↑ = (3 , - 1 , 2)
BC↑ = (-4 , 1 , - 1)
BA↑ と BC↑ は平行ではないので、平面BAC上の点P は、p , q を実数として
BP↑ = p*BA↑ + q*BC↑　と書ける。成分表示すると、
BP↑ = p(3 , - 1 , 2) + q(-4 , 1 , - 1) = (3p - 4q , - p + q , 2p - q)　となる。
また、BC^2 = 4^2 + 1^2 + 1^2 = 18
BD↑ = (3p - 4q , - p + q , 2p - q)　とすると、
CD↑ = (3p - 4q + 4 , -p + q - 1 , 2p - q + 1)

|BD↑|^2 = (3p - 4q)^2 + (- p + q)^2 + (2p - q)^2 = 18 ……(★)
|CD↑|^2 = (3p - 4q + 4)^2 + (p - q + 1)^2 + (2p - q + 1)^2 = 18 ……(☆)

これを解けばよい。
159：green （xQkqlhqM）：2005/03/21(月) 12:55:31: (☆) ⇔ (3p - 4q)^2 + (p - q )^2 + (2p - q)^2 + 8(3p - 4q)+ 2(p - q) + 2(2p - q) = 0
　　　⇔ (3p - 4q)^2 + (p - q )^2 + (2p - q)^2 + 30p - 36q = 0 ……(☆)’

(★) ⇔ (3p - 4q)^2 + (p - q )^2 + (2p - q)^2 = 18 ……(★)’

(☆)’ - (★)’ より、
30p - 36q = 18 ⇔ - 6q = - 5p - 3 ……(♪)

(★)*36 ⇔　4(9p - 12q)^2 + (6p - 6q)^2 + (12p - 6q)^2 = 18*36
これに　- 6q = - 5p - 3　を代入して、
4(p + 6)^2 + (p - 3)^2 + (7p - 3)^2 = 648
54p^2 + 162 = 648
54p^2 = 486
p^2 = 9
直線BCに関してAとDが同じ側にあるので、p > 0
∴p = 3
∴q = 3 (∵(♪))
よって、
OD↑ = OC↑ + CD↑ = (- 2 , - 1 , 1) + (3p - 4q + 4 , - p + q - 1 , 2p - q + 1)
　　　　= (3p - 4q + 2 , - p + q - 2 , 2p - q + 2) = (- 1 , - 2 , 5) .■
160：green （xQkqlhqM）：2005/03/21(月) 12:57:39: (2)は後ほど
161：green （xQkqlhqM）：2005/03/21(月) 21:45:38: (2)
E の z 座標が (82 ±√22)/27
になったんだけど、答えはもっときれいになりますか？
162：green （xQkqlhqM）：2005/03/21(月) 21:54:42: いや、また間違ってた。

E( - 1 , - 5 , 2) or E(1/3 , 5/3 , 10/3 )

これならどうだ。
5回くらい計算ミスして泣きそうになったよ。　｡･ﾟ･(ﾉД`)･ﾟ･｡
163：臺地 （qpPuO9q2）：2005/03/21(月) 23:54:52: >>162
正解。どんな解き方したの？
＞5回くらい計算ミス
あはは。よくあることだからあまり気にせず今後も問題に意地をもって取り組んでいってくだされ。
人のこといえないだろって？いやはや、そのとおりでござんすorz
ただ大問題なのは試験には「制限時間」なるものがあって何度も計算ミスを修正する
暇がないことですね。こればっかりは訓練しなくちゃいかんのかもしれん・・。
164：green （xQkqlhqM）：2005/03/22(火) 12:40:22: >163
アドバイスthx.
今から(2)の解答を書きます。
165：green （xQkqlhqM）：2005/03/22(火) 12:58:13: (2)
[解答]
B(2 , - 2 , 2)、C(- 2 , - 1 , 1)、 D(- 1 , - 2 , 5)
E(x , y , z) とおくと、B , C , D , E が正四面体の4頂点となるので、
ED = EB = EC = √18 . よって、
(x + 1)^2 + (y + 2)^2 + (z - 5)^2 = 18　……(★)
(x - 2)^2 + (y + 2)^2 + (z - 1)^2 = 18　……(♪)
(x + 2)^2 + (y + 1)^2 + (z - 1)^2 = 18　……(☆)

(★) ⇔ (x^2 + y^2 + z^2) + 2x + 4y - 10z = 18 - 30 ……(★)’
(♪) ⇔ (x^2 + y^2 + z^2) - 4x + 4y - 4z = 18 - 12 ……(♪)’
(☆) ⇔ (x^2 + y^2 + z^2) + 4x + 2y - 2z = 18 - 6 ……(☆)’

(★)’- (♪)’より、
x = z - 3 ……(◆)
(☆)’- (★)’より、
x - y + 4z = 12
これに (◆) を代入して y を z で表すと、
y = 5z - 15 ……(◇)
166：green （xQkqlhqM）：2005/03/22(火) 13:04:19: (◆) と (◇) を (★) に代入して整理すると、
27z^2 - 144z + 180 = 0
3z^2 - 16z + 20 = 0
(z - 2)(3z - 10) = 0
z = 2 or z = 10/3

これを(◆) , (◇) に代入すると、(x , y , z) = ( - 1 , - 5 , 2) or (1/3 , 5/3 , 10/3 )
∴ E( - 1 , - 5 , 2) or E(1/3 , 5/3 , 10/3 )　　………(答)
167：臺地 （qpPuO9q2）：2005/03/22(火) 16:09:58: >>158-159>>165-166
はい満点。以下は個人的な感覚です。
＞|BD↑|^2 = (3p - 4q)^2 + (- p + q)^2 + (2p - q)^2 = 18 ……(★)
＞|CD↑|^2 = (3p - 4q + 4)^2 + (p - q + 1)^2 + (2p - q + 1)^2 = 18 ……(☆)
の前に△BCDは正三角形だからの一言があるといいかな。

＞直線BCに関してAとDが同じ側にあるので、p > 0
おっけーです。俺はここがこの問題におけるひとつのポイントだと思うんだけど・・。
問題文の「直線BCに関してAとDが同じ側」を見たときに
「あー嫌な条件だなーでも平面のベクトル方程式を使えば簡単に書けそう。平面の方程式も使えそうだけど
この条件で解を吟味するのが面倒そうだから、野暮でもベクトル方程式の方がいいかもー」
って思えたのならかなり実力あると思います。その場合p>0は答案の最初のほうに書いておいた方がいいかと。
計算しているうちにそのことをすっかり忘れてしまって、あとで吟味する段階になって慌てないためです。
ただでさえ慌てやすい試験のときは注意です。

あと、計算過程、そこまで書かなくてもいいと思いますよ。。たとえば
＞3p - 4q)^2 + (- p + q)^2 + (2p - q)^2 = 18 ……(★)
＞(3p - 4q + 4)^2 + (p - q + 1)^2 + (2p - q + 1)^2 = 18 ……(☆)
と書いて、辺辺引いてと一言書いて、答案上では一気に- 6q = - 5p - 3 ……(♪)を導いてしまってよいでしょう。
その間の計算は、採点者はあまり見ていないそうですし、そこを省略することで解答用紙のスペースをより広くできます。
それに、2次式の展開のような単純計算は別紙に書いたほうが自分流にやれるので早いかと。
168：臺地 （qpPuO9q2）：2005/03/22(火) 16:22:48: （2）には別解があります。三角形BCDの重心をGとしてみましょう。
Gの座標は三つのベクトルの相加平均からすぐわかりますね。
GとEの関係は？・・・そうですね、GE↑は平面ABCの法線ベクトルのひとつです。
法線ベクトルのたすきがけの公式を知っていればGE↑方向の単位ベクトルが求められます。

GEの長さがわかればめでたくEの座標が求まりますね。ここで正四面体の性質を
つかえば割と簡単にこの長さも求められます。
立方体埋込論法（←なんのことだかわかる？）を使えば瞬殺かも。
あとはEが平面ABCの上と下どちらにあるかで2通りあることに注意して答えが出します。

この解法の場合二乗計算はないのですが、たすきがけのところとか慣れてないとミスしがちですね。
練習で試してみるのもいいかも。
169：臺地 （qpPuO9q2）：2005/03/22(火) 16:29:43: あ。また細かいことですが・・・
>>159
＞OD↑ = OC↑ + CD↑ = (- 2 , - 1 , 1) + (3p - 4q + 4 , - p + q - 1 , 2p - q + 1)
＞　　　　= (3p - 4q + 2 , - p + q - 2 , 2p - q + 2) = (- 1 , - 2 , 5) .■
もとめるものはDの座標なので面倒でも
∴D(- 1 , - 2 , 5)って書いたほうがいいかも。
あと、■って証明終了で使うものじゃないのかな・・・？
「～を求めよ」って問題で使っていいのかな。どこかでそう習った？

もう一回言いますが以上は個人的な感想なのでどこか偏見がある可能性はあります。
異論があれば是非ﾄﾞｿﾞｰ

でもってこれからどうしましょ。こけ氏の√y7やって、それから本スレの様に
問題を一題ずつ投下していけばよいでしょうか。投下できる問題はたくさんありますけど。
170：green （xQkqlhqM）：2005/03/22(火) 18:20:02: >>167-169
丁寧な解説ありがとうございます。
じっくり検討したいと思います。

＞あと、■って証明終了で使うものじゃないのかな・・・？
＞「～を求めよ」って問題で使っていいのかな。どこかでそう習った？

完全攻略数学オリンピック
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↑この本に、論証問題、求値問題、にかかわらずすべて、解答の終わりに　■　の記号
を用いているので使ってもいいかな～って思ったんですが。
171：green （xQkqlhqM）：2005/03/22(火) 18:25:23: ＞でもってこれからどうしましょ。こけ氏の√y7やって、それから本スレの様に
＞問題を一題ずつ投下していけばよいでしょうか。投下できる問題はたくさんありますけど。

本スレの様に問題投下をお願いします。
皆様方のご都合もあるでしょうから、投下のないときに
こけ氏の問題をやっていこうかな～って思ってます。
172：Мечислав(☆9) （DTxrDxh6）：2005/03/22(火) 18:33:45: >>171
わたしから提案。
投下のないときは、本スレの問題をやればどうです？
手始めに初代スレの>>183(>>197)はどうですか？
173：green （xQkqlhqM）：2005/03/22(火) 19:32:55: >>172
それも (・∀・)ｲｲ!! ですね。
174：green （xQkqlhqM）：2005/03/22(火) 19:35:02: 168 名前：臺地（qpPuO9q2）投稿日： 2005/03/22(火) 16:22:48

（2）には別解があります。三角形BCDの重心をGとしてみましょう。
Gの座標は三つのベクトルの相加平均からすぐわかりますね。
GとEの関係は？・・・そうですね、GE↑は平面ABCの法線ベクトルのひとつです。
法線ベクトルのたすきがけの公式を知っていればGE↑方向の単位ベクトルが求められます。

GEの長さがわかればめでたくEの座標が求まりますね。ここで正四面体の性質を
つかえば割と簡単にこの長さも求められます。
立方体埋込論法（←なんのことだかわかる？）を使えば瞬殺かも。
あとはEが平面ABCの上と下どちらにあるかで2通りあることに注意して答えが出します。

この解法の場合二乗計算はないのですが、たすきがけのところとか慣れてないとミスしがちですね。
練習で試してみるのもいいかも。
175：green （xQkqlhqM）：2005/03/22(火) 19:47:47: 早速やってみました。

一辺が a/√2　の立方体 ABCD-EFGH を考える。このとき、
四面体 C-AFH は一辺 a の正四面体である。四面体 C-AFH のまわりにある
4つの四面体は、四面体 C-ABF と合同である。
ゆえに、
正四面体 C-AFH = 立方体の体積　- 4*四面体 C-ABF = (a/√2)^3 - 4(1/3*a^2/4*a/√2) = √2/12*a^3
C から平面AFH に下ろした垂線の長さを h とおくと、
正四面体 C-AFH の体積について次の式が成り立つ。
1/3*1/2*a^2*√3/2*h = √2/12*a^3 ⇔ h = √6/3*a
176：green （xQkqlhqM）：2005/03/22(火) 20:01:53: したがって、一辺 a の正四面体の高さは √6/3*a である。……★

ここから
(2)の[別解]
DB↑ = (3 , 0 , - 3)
CB↑ = (4 , - 1 , 1)
DB↑×CB↑ = (3 , 15 , 3)
したがって、DB↑ , CB↑ の2つのベクトルに垂直な単位ベクトルは
±√3/9(1 , 5 , 1 ) となる。
また、三角形BCDの重心をG とすると、
OG↑ = 1/3(OB↑ + OC↑ + OD↑) = 1/3(- 1 , - 5 , 8)
このことと★より、
OE↑ = OG↑ + GE↑ = 1/3(- 1 , - 5 , 8) ± √6/3*√18*√3/9(1 , 5 , 1 )
よって、OE↑ = ( - 1 , - 5 , 2) or (1/3 , 5/3 , 10/3 )
∴ E( - 1 , - 5 , 2) or E(1/3 , 5/3 , 10/3 )　　………(答)
177：green （xQkqlhqM）：2005/03/22(火) 20:03:22: 立方体埋込論法って>>175 のように計算することですか？
178：green （xQkqlhqM）：2005/03/22(火) 20:14:37: すべてのxで|f'(ｘ)|≦|ｆ(x)|, f(0)=0を満たしているような微分可能な関数f(x)を求めよ.
179：green （xQkqlhqM）：2005/03/22(火) 20:19:30: 幸か不幸かこれはやったことがあります。

[解答]
|f'(x)|≦|f(x)| …(イ）
f(0)=0 …(ロ) とする。

f(x) は　[0 , 1/2 ]　で連続、(0 , 1/2) で微分可能だから、0 < x ≦ 1/2　において
平均値の定理より、{f(x)-f(0)}/(x-0)=f'(x_1)　　(0 < x_1 < x ≦ 1/2) なる x_1 が存在する。
(イ）, (ロ) より
|f(x)| = x|f'(x_1)| ≦ x|f(x_1)|　　(0 < x_1 < x) ……(★)
再び平均値の定理より、
{f(x_1) - f(0)}/(x_1 - 0)=f'(x_2)　　(0 < x_2 < x_1) なる x_1 が存在する。
上と同様に
|f(x_1)| = x_1*|f'(x_1)|≦x_1|f(x_1)|　　(0 < x_1 < x) ……(♪)
以下同様にして
|f(x_n-1)| ≦ x_n-1*|f(x_n)|　　(0 < x_n < x_n-1) ……(☆)
(★)～(☆)より、
|f(x)| ≦ x*x_1*x_2*…*x_n-1*|f(x_n)| < (1/2)^n *|f(x_n)|
ここでf(x_n)は、f(x)　が[0 , 1/2] で連続だから、有界値をもつ。よって、
(1/2)^n *|f(x_n)| → 0.　（n→∞)
∴|f(x)|=0 (0 ≦ x ≦ 1/2) ……(★★)
更にf(x)=0 (1/2 ≦ x ≦ 1)を示せば十分である。
x-1/2=t とおくと、①より|f'(t + 1/2)|≦|f(t + 1/2)|
f(t+1/2)=g(t) とおくと、
|g'(t)|≦|g(t)|
g(0)=f(1/2)=0.
これらと(★★)より、g(t)=0 (0≦t≦1/2)
∴f(t +1/2) = g(t) = 0 (0 ≦ t ≦ 1/2) ⇔　f(x) = 0 (1/2 ≦ x ≦ 1)
この操作を繰り返すことにより、f(x) = 0 (- ∞ < x < ∞)　■
180：Мечислав(☆9) （DTxrDxh6）：2005/03/22(火) 23:44:38: >>179
＞ここでf(x_n)は、f(x)　が[0 , 1/2] で連続だから、有界値をもつ。

有界値ってなに？

＞更にf(x)=0 (1/2 ≦ x ≦ 1)を示せば十分である。

なにが十分なの？
181：green （xQkqlhqM）：2005/03/22(火) 23:57:26: >180
何かの問題集に載ってた解答を丸覚えしたやつですから、
解答を書いた人の言葉の使い方ということになります。

ええと、今から一つずつレスします。
182：green （xQkqlhqM）：2005/03/22(火) 23:59:50: ＞有界値ってなに？
最大値 or 最小値のことだと理解してます。
有界値っていう用語はないのかな？
183：Мечислав(☆9) （DTxrDxh6）：2005/03/23(水) 00:01:59: >>182
ないです。
最大値のことと解釈します。
最大値を持つとどうして(1/2)^n *|f(x_n)| → 0.　（n→∞)
がいえるんですか？
184：green （xQkqlhqM）：2005/03/23(水) 00:03:24: ＞＞更にf(x)=0 (1/2 ≦ x ≦ 1)を示せば十分である。
＞なにが十分なの？

「十分」という言葉の使い方がおかしいということですか？
185：Мечислав(☆9) （DTxrDxh6）：2005/03/23(水) 00:04:40: あ、それはいいです。ごめん。

＞f(x)　が[0 , 1/2] で連続だから、最大値をもつ

これなんでかわかりますか。
186：Мечислав(☆9) （DTxrDxh6）：2005/03/23(水) 00:06:13: >>184
おかしいっていうか
「十分」ってのは
「○○がなりたつためには△△であることが十分」
っていう風に使うことばでしょう？
○○であるためには
の部分がないんですが。
187：Мечислав(☆9) （DTxrDxh6）：2005/03/23(水) 00:09:18: 「○○がなりたつためには△△であることが十分」
は
自然な日本語にしようとすれば
「○○がなりたつためには△△でありさえすれば十分」
のほうがいいかもしれんけど。
188：green （xQkqlhqM）：2005/03/23(水) 00:10:31: >>185
受験教科書に「最大値の定理」と書いてあって、ロルの定理とかコーシーの平均値の定理とかは
すべて「最大値の定理」が出発点になってるので、これの証明はよくわかんないです。
189：green （xQkqlhqM）：2005/03/23(水) 00:15:12: >>186-187
f(x) = 0 (- ∞ < x < ∞)　が成り立つことを示すには
f(x)=0 (0 ≦ x ≦ 1/2) を用いて、
f(x)=0 (1/2 ≦ x ≦ 1)　が成り立つことを示せば十分である。

これでいいのかな　(；´Д｀)
190：Мечислав(☆9) （DTxrDxh6）：2005/03/23(水) 00:17:08: ちょっといまめしくってるからあとでかきますね。
191：green （xQkqlhqM）：2005/03/23(水) 00:17:46: はい
192：臺地 （qpPuO9q2）：2005/03/23(水) 00:21:28: >>175-176
はいおｋです。立方体に埋め込むってのは>>175の通りです。さすがですね。
このばあいは瞬殺って感じでもなかったかも・・・ごめん
193：臺地 （qpPuO9q2）：2005/03/23(水) 00:22:47: >>170
なるほど。じゃあ■でいいみたいですね。失礼。
194：green （xQkqlhqM）：2005/03/23(水) 00:23:37: >192
さんくす
195：Мечислав(☆9) （DTxrDxh6）：2005/03/23(水) 00:37:38: >>189
＞更にf(x)=0 (1/2 ≦ x ≦ 1)を示せば十分である。

の一行を削ればいいだけですけどね。
何も「十分」なんてことばを無理やり使うことないです。
どうしても使いたければ、答案の冒頭に
「(-∞, ∞)でf(x)は恒等的に0に等しい関数であることを以下に示す」
とでも書いておけばいいかもしれません。

で、>>189はなんで成り立つの？
196：Мечислав(☆9) （DTxrDxh6）：2005/03/23(水) 00:38:37: 最大値原理は教科書にのってましたっけ＞臺地先生
197：臺地 （qpPuO9q2）：2005/03/23(水) 00:40:30: 問題あげる
S={2＾k｜k=1,2,・・・}にたいしてその部分集合S_NをS_N={2＾k｜k=1,2,・・・,N}とする。
ただしNは自然数である。このとき、
(1)任意の自然数n(≧2)に対して、最高位の数が1のn桁の自然数が、Sの中に一意存在することを示せ。
(2)S_Nから任意に一つの自然数を取り出したとき、その最高位の数が1である確率をP_Nとする。
lim_[N→∞]P_Nを求めよ。
198：臺地 （qpPuO9q2）：2005/03/23(水) 00:41:08: >>196調べてみます
199：green （xQkqlhqM）：2005/03/23(水) 00:42:38: >195
＞で、>>189はなんで成り立つの？

>>186>>187 のような体裁を取り繕って書いてみただけなんですが、ダメですか？
200：Мечислав(☆9) （DTxrDxh6）：2005/03/23(水) 00:43:54: >>199
いやいや
記述の仕方は、まあそれでもいいかもしれません。
記述の内容自体はなんでなりたつの？ってきいてるのですが。
201：臺地 （qpPuO9q2）：2005/03/23(水) 00:45:54: 東京書籍数学III60ページ
●連続関数の最大値・最小値
(前略)一般に、次のことが成り立つ。
閉区間で連続な関数は、その区間で、最大値および最小値を持つ。
202：green （xQkqlhqM）：2005/03/23(水) 00:47:22: f(x)=0 (0 ≦ x ≦ 1/2) を用いて、
f(x)=0 (1/2 ≦ x ≦ 1)　が成り立つことを示せば
あとは同じように定義域を拡大していけばいいから、ってことですが。
203：green （xQkqlhqM）：2005/03/23(水) 00:48:22: >>197
考えてみます。
204：Мечислав(☆9) （DTxrDxh6）：2005/03/23(水) 00:49:01: >>201
ども。＞臺地先生。

えっと、
証明なしでつかっていいかどうか不安だったんですが
教科書に載ってるということは、使っていいってことですね。
直観的にみとめられる原理だとして。

いずれ松坂輪読スレにでてくるんじゃないかな。
興味がおありなら見ておいてください。＞greenくん
205：Мечислав(☆9) （DTxrDxh6）：2005/03/23(水) 00:50:25: >>202
帰納法
っていってほしかったんですがね。
206：green （xQkqlhqM）：2005/03/23(水) 00:54:08: >205
Σ（ﾟдﾟlll）ｶﾞｰﾝ
207：green （xQkqlhqM）：2005/03/23(水) 00:57:56: 今日はそろそろ寝ます。
臺地さん、 Мечислав(☆9) さん
ありがとう! 勉強になりました。
208：臺地 （qpPuO9q2）：2005/03/23(水) 00:59:12: >>183に明確に答えたほうがいいような・・・と思いつつも
おやすみ～
209：Мечислав(☆9) （DTxrDxh6）：2005/03/23(水) 01:05:32: >>208
そうだね。やっぱり>>183はgreenくんへの質問ということに
しよう。

なんで>>183の下から二行は成り立ちますか？
210：green （xQkqlhqM）：2005/03/23(水) 01:10:51: >>183
＞最大値を持つとどうして(1/2)^n *|f(x_n)| → 0.　（n→∞)
＞がいえるんですか？

今思ったんですが、(1/2)^n *|f(x_n)| → 0.　（n→∞)
になるのは、「f(x) が最大値をもつから」ということとが理由なのではなく、
「f(x) は連続であるから」っていうことが理由なのかな？
211：臺地 （qpPuO9q2）：2005/03/23(水) 01:15:21: そーではなく・・・、
(1/2)^n *|f(x_n)|
において|f(x_n)|がばかでかければこれは0に収束しないわけですよ。
|f(x_n)|が手ごろな大きさで、(1/2)^n *|f(x_n)|が0に収束することの保障を数式評価でびしっ
といっておくべきなのでは、というのが>>183の趣旨かと。
212：Мечислав(☆9) （DTxrDxh6）：2005/03/23(水) 01:15:24: >>210
あ、やっぱり聞いてよかった。
なんでfが連続なら、(1/2)^n *|f(x_n)| → 0.　（n→∞) なのだとおもうの？
あるいは

問題
fが[0, 1/2]で最大値を持つとき(でも[0, 1/2]で連続であるときでもいいけど)
(1/2)^n *|f(x_n)| → 0.　（n→∞)
となることを証明せよ。

をきちんと解答してください。
213：Мечислав(☆9) （DTxrDxh6）：2005/03/23(水) 01:18:35: >>211
＞|f(x_n)|がばかでかければこれは0に収束しないわけですよ。

ちょっと不穏当な発言では？
詳しく言うと質問に答えてしまうことになるから仕方ないかもしれないけど。
214：green （xQkqlhqM）：2005/03/23(水) 01:21:39: やっぱり理解が不十分だったか。(；´Д｀)
今度こそ寝ますので、明日また考えます。
では。ｍ（＿　＿）ｍ
215：Мечислав(☆9) （DTxrDxh6）：2005/03/23(水) 01:22:19: >>214
おやすみ。ゆっくり考えてください。
216：臺地 （qpPuO9q2）：2005/03/23(水) 01:28:39: >>213
感覚で言ったものでありあまり深い意味ではないです・・・
217：green （xQkqlhqM）：2005/03/23(水) 03:32:26: 問題
f(x)が[0, 1/2]で最大値を持つとき(でも[0, 1/2]で連続であるときでもいいけど)
(1/2)^n *|f(x_n)| → 0.　（n→∞)
となることを証明せよ。