>>225
(2)を解き終わってないのにコメントするのはよくないかもしれんけど・・・
正解。ってか最良の解法です。出典の本解より断然上です。感服しますた。
＞A ≦ k < A + 1
＞Aは実数で、これを満たす自然数 k はただ一つ存在するので
減点はされないだろうけどAが正であることを一応書いておいたほうがいいかな
そうです。「任意の自然数 n (≧2)に対して、最高位の数が 1 の n 桁の自然数が、S の中に一意に存在する。」
のことを「任意自然数 n (≧2)に対して、最高位数が 1 の n 桁自然数が、S の中に一意存在する。」
と 書いてあれば舌ったたらずな日本語だなという印象をもちませんか？
べつに致命的欠陥を指摘したようなつもりではないですよ。
「細かいこと」と書いたし、「やや口語的」であることが「変だ」「気になる」ではなく「気になります」と書いただけで。
[解答]
(1)任意の自然数 n (≧2)に対して、最高位の数が 1 の n 桁の自然数が、
S の中に一意に存在することを示すには、2以上の各自然数 n に対して、
1*10^(n - 1) ≦ 2^N < 2*10^(n-1) ……♪
を満たす自然数 N がただ一つ存在すること……★を示せばよい。
[解答]
(1)任意の自然数 n (≧2)に対して、最高位の数が 1 の n 桁の自然数が、
S の中に一意に存在することを示すには、2以上の各自然数 n に対して、
1*10^(n - 1) ≦ 2^N < 2*10^(n-1) ……♪
を満たす自然数 N がただ一つ存在すること……★を示せばよい。
遅くなりましたが、>>36 で使った mod の定義とその性質の証明を書きます。
[mod の定義]
正の整数 m , 整数 a , b に対して a - b が m の倍数のとき、
a と b は m を法として合同と言い、a ≡ b (mod m ) と書く。
a ≡ b , c ≡ d (mod m) なら、
(i) a + c ≡ b + d (mod m)
(ii) a - c ≡ b - d (mod m)
(iii) a*c ≡ b*d (mod m)
[証明]
(i) (a + c) - (b + d) = (a - b) + (c - d) ≡ 0 (mod m)
(ii) (a - c) - (b - d) = (a - b) - (c - d) ≡ 0 (mod m)
(iii) a*c - b*d = (a - b)*c + b*(c - d) ≡ 0 (mod m)
また、(iii) で c = a , d = b として
a^2 ≡ b^2 (mod m)
同様にして
a^3 ≡ b^3 (mod m)
………………………
以下、帰納的に
a^n ≡ b^n (mod m) (但し n は自然数 ) が成り立つ。■
