俺に数学を教えてください - 1110674207

218：green （xQkqlhqM）：2005/03/23(水) 03:35:10: [解答]
f(x) の [0, 1/2] での最大値を M とすると、
0 ≦ (1/2)^n *|f(x_n)| ≦ (1/2)^n*M
(1/2)^n*M → 0 (n→∞)
よって、挟み撃ちの原理より
(1/2)^n *|f(x_n)| → 0 .
219：Мечислав(☆9) （DTxrDxh6）：2005/03/23(水) 03:41:34: >>218
そうです。
x_nの値によらないMが存在するから0に収束するってところがポイントでした。

まだ起きてたんですか。。。
220：green （xQkqlhqM）：2005/03/23(水) 12:19:50: >>219
よかった。
思いついたので、ちょっと起きて書いたんです。
221：green （xQkqlhqM）：2005/03/23(水) 13:57:18: 197 名前：臺地（qpPuO9q2）投稿日： 2005/03/23(水) 00:40:30

問題あげる
S={2＾k｜k=1,2,・・・}にたいしてその部分集合S_NをS_N={2＾k｜k=1,2,・・・,N}とする。
ただしNは自然数である。このとき、
(1)任意の自然数n(≧2)に対して、最高位の数が1のn桁の自然数が、Sの中に一意存在することを示せ。
(2)S_Nから任意に一つの自然数を取り出したとき、その最高位の数が1である確率をP_Nとする。
lim_[N→∞]P_Nを求めよ。
222：green （xQkqlhqM）：2005/03/23(水) 14:01:38: 方針が立たない…　(；´Д｀)
2^4 = 16
2^10 = 1024
2^14 = 16384
………………
だから、最高位の数が1のn桁の自然数が、Sの中に一意存在しそうなんだけど、
どうやって示せばいいのだろう？
223：green （xQkqlhqM）：2005/03/23(水) 14:05:27: 背理法を使うのかな？

まず、n 桁の自然数は

a_n*10^(n-1) + a_n-1*10^(n-2) + …… + a_1

と表せるな。
224：Мечислав(☆9) （DTxrDxh6）：2005/03/23(水) 14:13:18: うん。そうやって思考の痕跡を残しとくのは、
自分の思考の癖もわかるし、何を思いつきにくいかってのも分かるし
結構得だと思う。
225：green （xQkqlhqM）：2005/03/23(水) 15:09:59: できたかも

[解答]
(1)任意の自然数 n (≧2)に対して、最高位の数が 1 の n 桁の自然数が、S の中に一意存在することを示すには、
1*10^(n - 1) ≦ 2^k < 2*10^(n-1) ……★　を満たす自然数 k がただ一つ存在することを示せばよい。
★ ⇔ (n - 1) ≦ k*log2 < (n - 1) + log2　(←常用対数をとった)
　　⇔(n - 1)/log2 ≦ k < (n - 1)/log2 + 1
　　⇔ A ≦ k < A + 1
(但し、(n - 1)/log2 を A とおいた。)

A ≦ k < A + 1
Aは実数で、これを満たす自然数 k はただ一つ存在するので、★　が示された。
よって、任意の自然数 n (≧2)に対して、最高位の数が 1 の n 桁の自然数が、S の中に一意存在する。■
226：green （xQkqlhqM）：2005/03/23(水) 15:12:35: 訂正

1*10^(n - 1) ≦ 2^k < 2*10^(n-1) を満たす自然数 k がただ一つ存在する　……★
227：green （xQkqlhqM）：2005/03/23(水) 15:13:32: 合ってるかな？
228：green （xQkqlhqM）：2005/03/23(水) 20:59:07: (2)は 1/3～1/4 くらいになりそうなんだけど、
どうやるんだろう？
全事象は N で、…
(1)を利用するとして、どうすればよいのか。
229：臺地 （qpPuO9q2）：2005/03/23(水) 21:40:02: >>225
(2)を解き終わってないのにコメントするのはよくないかもしれんけど・・・
正解。ってか最良の解法です。出典の本解より断然上です。感服しますた。
＞A ≦ k < A + 1
＞Aは実数で、これを満たす自然数 k はただ一つ存在するので
減点はされないだろうけどAが正であることを一応書いておいたほうがいいかな
230：green （xQkqlhqM）：2005/03/23(水) 22:09:13: >229
褒められると嬉しい (・∀・)

＞Aが正であることを一応書いておいたほうがいいかな

やっぱり書いたほうがよかったか。

でも(2)解けるかな～？
さっきから考えてるんだけど、解決の糸口がわかんない。
挟み撃ちの原理を使うのかな？

他の教科と休憩はさんで、また考えてみます。では
231：Мечислав(☆9) （DTxrDxh6）：2005/03/24(木) 02:19:50: >>229
Aが正かどうかより、各nに対して一意にkが定まるってことを明記するほうが
重要では？

あと細かいことですが、「一意存在する」とか「任意固定」って言い方が
少し気になります。そういう省略はやや口語的だなと思ってしまう。＞臺地
232：green （xQkqlhqM）：2005/03/24(木) 07:42:57: ＞Aが正かどうかより、各nに対して一意にkが定まるってことを明記するほうが
＞重要では？

確かにそうでした。
233：green （xQkqlhqM）：2005/03/24(木) 14:15:05: (2)が分かんない。

ヽ(｀Д´)ﾉｳｧｧｧﾝ
234：臺地 （qpPuO9q2）：2005/03/24(木) 14:44:20: >>231
＞Aが正かどうかより、各nに対して一意にkが定まるってことを明記するほうが重要では？
>>225の
＞任意の自然数 n (≧2)に対して、最高位の数が 1 の n 桁の自然数が、S の中に一意存在することを示すには、
＞1*10^(n - 1) ≦ 2^k < 2*10^(n-1) を満たす自然数 k がただ一つ存在すること　……★を示せばよい
にきちんと明記されていると思いますが。

＞「一意存在する」とか「任意固定」って言い方が少し気になります。そういう省略はやや口語的だなと思ってしまう。
口語的と言われましても・・・じゃあ「一意に存在する」「任意に固定する」って書けばいいのですか？
235：Мечислав(☆9) （DTxrDxh6）：2005/03/24(木) 17:20:26: >>234
＞>>225の
＞＞任意の自然数 n (≧2)に対して、最高位の数が 1 の n 桁の自然数が、S の中に一意存在することを示すには、
＞＞1*10^(n - 1) ≦ 2^k < 2*10^(n-1) を満たす自然数 k がただ一つ存在すること　……★を示せばよい
＞にきちんと明記されていると思いますが。

えと。まず「明記」というのは
「任意の自然数 n (≧2)に対して、最高位の数が 1 の n 桁の自然数が、S の中に一意存在することを示すには、
2以上の各自然数nに対して、1*10^(n - 1) ≦ 2^k < 2*10^(n-1) を満たす自然数 k がただ一つ存在すること　……★を示せばよい」
と後段の「2以上の各自然数nに対して」を省略しないということです。そっちを省略して、「明記してる」というなら
「任意の自然数 n (≧2)に対して、最高位の数が 1 の n 桁の自然数が、S の中に一意存在することを示すには、
1*10^(n - 1) ≦ 2^k < 2*10^(n-1) を満たす自然数 k が存在すること　……★を示せばよい」
と「ただ一つ」を省略しても「明記してる」ことになりかねないと思います。
それに>>225で
＞A ≦ k < A + 1
＞Aは実数で、これを満たす自然数 k はただ一つ存在するので
とありますが(これも、(n - 1)/log2 はAではなくA(n)と、(n - 1)/log2 がnに依る数であることを
明記してほしいところですが)
たとえば「[(n-1)/log2, (n-1)/log2+1)∩[n/log2, n/log2+1)=Φを満たすnが存在して、
この集合[(n-1)/log2, (n-1)/log2+1)∩[n/log2, n/log2+1)のなかにk, k+1
という異なる二つの自然数が存在する」という事態はあり得ないことを
言わなくてはならんとおもいますが。

＞＞「一意存在する」とか「任意固定」って言い方が少し気になります。そういう省略はやや口語的だなと思ってしまう。
＞口語的と言われましても・・・じゃあ「一意に存在する」「任意に固定する」って書けばいいのですか？

そうです。「任意の自然数 n (≧2)に対して、最高位の数が 1 の n 桁の自然数が、S の中に一意に存在する。」
のことを「任意自然数 n (≧2)に対して、最高位数が 1 の n 桁自然数が、S の中に一意存在する。」
と書いてあれば舌ったたらずな日本語だなという印象をもちませんか？
べつに致命的欠陥を指摘したようなつもりではないですよ。
「細かいこと」と書いたし、「やや口語的」であることが「変だ」「気になる」ではなく「気になります」と書いただけで。
236：臺地 （qpPuO9q2）：2005/03/25(金) 01:06:15: >>235
＞えと。まず「明記」というのは・・・ことになりかねないと思います。
ごもっともです。失礼いたしました。

＞「[(n-1)/log2, (n-1)/log2+1)∩[n/log2, n/log2+1)=Φを満たすnが存在して、
＞この集合[(n-1)/log2, (n-1)/log2+1)∩[n/log2, n/log2+1)のなかにk, k+1という異なる二つの自然数が存在する
[(n-1)/log2, (n-1)/log2+1)∩[n/log2, n/log2+1)=Φなら、その中に元は存在しないと思うのですが・・・。

＞舌ったたらずな日本語だなという印象をもちませんか？
「任意自然数」は違和感ありますが、「一意存在」は違和感感じないですねー
一応助詞の「に」を入れておくようにします。
237：Мечислав(☆9) （DTxrDxh6）：2005/03/25(金) 01:15:35: >>236
あ、>>235に二箇所書きマチガイ。

×　たとえば「[(n-1)/log2, (n-1)/log2+1)∩[n/log2, n/log2+1)=Φを満たすnが存在して、…
○　たとえば「[(n-1)/log2, (n-1)/log2+1)∩[n/log2, n/log2+1)≠Φを満たすnが存在して、…

もうひとつ

×　「細かいこと」と書いたし、「やや口語的」であることが「変だ」「気になる」ではなく「気になります」と書いただけで。
○　「細かいこと」と書いたし、「やや口語的」であることが「変だ」「マチガイ」ではなく「気になります」と書いただけで。
238：green （xQkqlhqM）：2005/03/25(金) 08:30:54: >>234-237
ｍ（＿　＿）ｍ

(2)は give up .
239：臺地 （qpPuO9q2）：2005/03/25(金) 09:44:04: >>238
タダではギブｱｯﾌﾟさせない
lim_[N→∞]P_Nを見たとき、P_Nを(漸化式などで)直接求めようとしたのではないですか？
だけどそれだと上手くいかない。なぜか？　　答：条件が「　　」から。(空欄を埋めよ)
ではその条件だけでは(2)は解けないのでしょうか。
求めるものは極限値、P_Nを厳密に算出する必要はありません。
ちょこっと評価できればいいのです・・・その条件で極限値を求める時に利用される原理は？
ありましたね・・・答：「　」の原理(空欄を埋めよ)
240：Мечислав(☆9) （DTxrDxh6）：2005/03/25(金) 09:44:50: >>238
(1)で
「[(n-1)/log2, (n-1)/log2+1)∩[n/log2, n/log2+1)≠Φを満たすnが存在して、
この集合[(n-1)/log2, (n-1)/log2+1)∩[n/log2, n/log2+1)のなかにk, k+1
という異なる二つの自然数が存在する」という事態はあり得ないこと
などを示すなりなんなりして、2以上の各自然数nに対して
1*10^(n - 1) ≦ 2^k < 2*10^(n-1) を満たす自然数 k が1つずつ
存在することを示しなおしてみてはいかが。
241：green （xQkqlhqM）：2005/03/25(金) 18:39:39: >239
条件が「足りない」から？　
後半は「挟み撃ち」の原理

>239-240 をヒントにもう少し考えてみます。
242：green （xQkqlhqM）：2005/03/25(金) 18:45:03: なんかすごい時間かかりそう。
ヽ(｀Д´)ﾉ
243：green （xQkqlhqM）：2005/03/25(金) 20:12:24: ｷﾀ━━━(ﾟ∀ﾟ)━( ﾟ∀)━( 　ﾟ)━(　　)━(　　)━(ﾟ　)━(∀ﾟ )━(ﾟ∀ﾟ)━━━!!

答えは　log2　　　　(底は 10 )
244：green （xQkqlhqM）：2005/03/25(金) 20:16:27: 問題文の意味をよく考えたら、(1)でほとんど示せてた。

[解答]
(1)任意の自然数 n (≧2)に対して、最高位の数が 1 の n 桁の自然数が、
S の中に一意存在することを示すには、2以上の各自然数nに対して、
1*10^(n - 1) ≦ 2^k < 2*10^(n-1)
を満たす自然数 k がただ一つ存在すること……★を示せばよい。
1*10^(n - 1) ≦ 2^k < 2*10^(n-1) ……♪
⇔ (n - 1) ≦ k*log2 < (n - 1) + log2　(←常用対数をとった)
　 ⇔ (n - 1)/log2 ≦ k < (n - 1)/log2 + 1
　 ⇔ A(n) ≦ k < A(n) + 1
(但し、(n - 1)/log2 を A(n) とおいた。)

A(n) ≦ k < A(n) + 1
A(n) は実数で、これを満たす自然数 k は 2 以上の各自然数 n に対して、
ただ一つ存在するので、題意は示された。■
245：green （xQkqlhqM）：2005/03/25(金) 20:20:57: 文字を変え忘れた。もう一回。

[解答]
(1)任意の自然数 n (≧2)に対して、最高位の数が 1 の n 桁の自然数が、
S の中に一意に存在することを示すには、2以上の各自然数 n に対して、
1*10^(n - 1) ≦ 2^N < 2*10^(n-1) ……♪
を満たす自然数 N がただ一つ存在すること……★を示せばよい。

♪　⇔ (n - 1) ≦ k*log2 < (n - 1) + log2　(←常用対数をとった)
　　⇔ (n - 1)/log2 ≦ k < (n - 1)/log2 + 1
　　⇔ A(n) ≦ k < A(n) + 1
(但し、(n - 1)/log2 を A(n) とおいた。)

A(n) ≦ k < A(n) + 1
A(n) は実数で、これを満たす自然数 N は 2 以上の各自然数 n に対して、
ただ一つ存在するので、題意は示された。■
246：green （xQkqlhqM）：2005/03/25(金) 20:22:48: 直ってないやん

[解答]
(1)任意の自然数 n (≧2)に対して、最高位の数が 1 の n 桁の自然数が、
S の中に一意に存在することを示すには、2以上の各自然数 n に対して、
1*10^(n - 1) ≦ 2^N < 2*10^(n-1) ……♪
を満たす自然数 N がただ一つ存在すること……★を示せばよい。

♪　⇔ (n - 1) ≦ N*log2 < (n - 1) + log2　(←常用対数をとった)
　　⇔ (n - 1)/log2 ≦ N < (n - 1)/log2 + 1
　　⇔ A(n) ≦ N < A(n) + 1
(但し、(n - 1)/log2 を A(n) とおいた。)

A(n) ≦ k < A(n) + 1
A(n) は実数で、これを満たす自然数 N は 2 以上の各自然数 n に対して、
ただ一つ存在するので、題意は示された。■
247：green （xQkqlhqM）：2005/03/25(金) 20:27:43: (2)
♪　⇔ log2 - log2/(n - 1) < (n - 1)/N ≦ log2
(左辺) → log2
よって、挟み撃ちの原理より、lim_[N→∞]P_N = log2 ■
248：名無し研究員さん：2005/03/25(金) 21:21:06: うれしそうだね・・・。
249：green （xQkqlhqM）：2005/03/25(金) 22:12:47: 　(*´Д｀)
250：臺地 （qpPuO9q2）：2005/03/25(金) 23:18:03: >>241
＞条件が「足りない」から？　
うーんまあそういうことなんだけどね。
条件が「不等式で示される」から、というのを想定していました(これも感覚的な言い方です。深くつっこまないで)。
後半はもちろんそのとおり。

>>243
正解。挟み撃ちの方針がつかめればすっと答えにたどりつけたんじゃないかな。
ちなみに、どうして最初はいきづまったか教えてもらえませんか？

>>246
＞A(n) は実数で、これを満たす自然数 N は 2 以上の各自然数 n に対して、
＞ただ一つ存在するので、題意は示された。■
Nはkの間違い？あとどうせなら正の実数というのを付け加えてほしかった

>>247
nって何？(1)のn(任意固定)とは意味が違うと思うよ。もう一回文字設定の説明がいると思います。
これと関わってくるけど、左辺がlog_[10]2に収束することの説明と、P_Nと(n - 1)/Nの関係についても
書かないとまずい可能性が高いです。
251：臺地 （qpPuO9q2）：2005/03/25(金) 23:23:37: >>240
＞「[(n-1)/log2, (n-1)/log2+1)∩[n/log2, n/log2+1)≠Φを満たすnが存在して、
＞この集合[(n-1)/log2, (n-1)/log2+1)∩[n/log2, n/log2+1)のなかにk, k+1
＞という異なる二つの自然数が存在する」という事態

しばらく考えていたんですが、先生はどのような意図のもとにこう書かれたのでしょうか。
[(n-1)/log2, (n-1)/log2+1)も[n/log2, n/log2+1)も区間の幅が「1未満」なので、共通部分は
さらに幅が短くなることはあっても長くなることはありえません。
したがって異なる2つの自然数が同時にその共通部分に存在しないことは、いわば明らかだと感じられるのですが。
252：Мечислав(☆9) （DTxrDxh6）：2005/03/25(金) 23:40:16: >>251
(n-1)/log2+1={(n-1)+log2}/log2<{(n-1)+1}/log2=n/log2
を明記すべきではないかという意図です。
253：臺地 （qpPuO9q2）：2005/03/25(金) 23:56:58: >>250でNはkの間違い？とか寝ぼけたことかいてますたｺﾞﾒﾝ
254：green （xQkqlhqM）：2005/03/25(金) 23:58:14: レスありがとうございます。
今日は忙しかったので、明日に読ませていただいて、レスします。
ｍ（＿　＿）ｍ
255：臺地 （qpPuO9q2）：2005/03/26(土) 00:01:25: そうでしたか・・・がんばって・・
256：green （xQkqlhqM）：2005/03/26(土) 21:47:07: >>250
＞ちなみに、どうして最初はいきづまったか教えてもらえませんか？
これについては、多分、
＞nって何？(1)のn(任意固定)とは意味が違うと思うよ。もう一回文字設定の説明がいると思います。
ここで混乱したんだと思います。一つの文字 n に2つの意味を込めて考えてしまったからかと。
257：green （xQkqlhqM）：2005/03/26(土) 22:07:44: で、>>247 に説明を加えないといけないわけですね。

S_N={2＾k｜k=1,2,・・・,N}
S_Nから任意に一つの自然数を取り出すとき、全事象の個数は N 。このとき、
(1) より、1*10^(n - 1) ≦ 2^N < 2*10^(n-1) ……♪
を満たす n(≧2) はただ一つ存在する。よって、P_N は N に対する (n - 1) の個数の比と
考えてよいから、P_N = (n - 1)/N .
♪　⇔ log2 - log2/(n - 1) < (n - 1)/N ≦ log2
N → ∞　のとき、 n → ∞　となるので、左辺　→ log2 (N → ∞ )
よって、挟み撃ちの原理より、lim_[N→∞]P_N = log2 .
258：green （xQkqlhqM）：2005/03/26(土) 22:11:21: 今日はもう来れないかもしれません。
葬式と御通夜で疲れた罠。
ｍ（＿　＿）ｍ
259：臺地 （qpPuO9q2）：2005/03/26(土) 22:46:42: >>257
＞(1) より、1*10^(n - 1) ≦ 2^N < 2*10^(n-1) ……♪
＞を満たす n(≧2) はただ一つ存在する。
これはちょっとまずいかも
(1)はnを固定したときにNの一意存在性を示したものですよね。
対して(2)では逆にNを固定したときにnの存在(つーか個数)を調べているんですよね。
だから単純に「(1)より」と書いてしまうのは論理的におかしいと思う。

＞P_N は N に対する (n - 1) の個数の比と考えてよいから、P_N = (n - 1)/N .
「S_Nから一つの要素をとってきたとき、それが最高位1の自然数である」という事象
の起こる場合の数がn-1個であることを、もっと前面に押し出して説明してほしかったです。
260：臺地 （qpPuO9q2）：2005/03/26(土) 22:48:08: >>258
まじですか・・・大変でしたでしょうに。。ご無理はなさらずに・・・
261：green （xQkqlhqM）：2005/03/27(日) 19:15:11: >>259
そう言われれば確かにそうですね。
この問題は、答えを出すより答案を書くのが難しかったです。

>>260
ありがとう。
262：green （xQkqlhqM）：2005/03/28(月) 15:01:48: 63 名前： green 投稿日： 2005/03/14(月) 23:30:09

√y 2

ＡＷＡＪＩＴＡＮ　の8文字のアルファベットを左から一列に並べる順列について，
次の問に答えなさい。

(1) 並べ方は全部で何通りあるか。

(2) 母音が2つ以上連続して並ぶような並べ方は何通りあるか。

(3) 母音が2つ連続して並ぶような並べ方は何通りあるか。
　　ただし，3つ以上連続するものは含まない。

64 名前： green 投稿日： 2005/03/14(月) 23:43:29

　□　□　□　□
↑　↑　↑　↑　↑

65 名前： green 投稿日： 2005/03/14(月) 23:46:57

[解答]
(1)Aという同じ文字が3つあるから、8！/3！ = 6720(通り)
(2)余事象を考える。すなわち、母音が連続して並ばない並べ方をもとめて、6720　から引けばよい。
子音を□で表すことにする。(母音はAAAIの4つ、子音はWJTNの4つ)
　□　□　□　□
↑　↑　↑　↑　↑
母音どおしは連続して並ばないから、5つの矢印のところに、4つ母音をいれて{C[5 , 4] = 5(通り)}、
母音を並べて(4通り)　、子音を並べれば(4！通り)よいから、
5*4*4！ = 480(通り)
∴ 母音が2つ以上連続して並ぶような並べ方は 6720 -480 = 6240(通り)
263：green （xQkqlhqM）：2005/03/28(月) 15:16:58: (3) [母音が2連続する] ＝ [母音が2つ以上連続する] - [母音が3連続する] - [母音が4連続する]
である。

(a) 母音が3連続するとき
[■■■]□□□■□　とする。
この6個の配列方法を考えると，■がくっつかないパターンは
6！/4！- (5！/4！)*2=20通り。
したがって，この場合は，20*(4*4!)通り。

(b) 母音が4連続するとき
[■■■■]□□□□　とする。
この5個の配列方法は 5！/4！=5通り。
したがって，この場合は，5*(4*4!)通り。

ゆえに，求める並べ方は，
6240 - {20*(4*4!) + 5*(4*4!)} = 3840(通り)　■
264：Мечислав(☆9) （DTxrDxh6）：2005/03/28(月) 15:39:28: >>197の僕なりの答案を書いておきましょう。

(1)　nを2以上の自然数とする.このとき
「最高位の数が1のn桁の自然数が、Sの中に一意的に存在する」
⇔「各nに対して2^k∈[10^(n-1), 2*10^(n-1))を満たす自然数kが一意的に存在する」
⇔「各nに対してk∈[(n-1)log{2}10, 1+(n-1)log{2}10)を満たす自然数kが一意的に存在する」…☆
であるが自然数p, qを用いてlog{2}10=q/pと書けるとする.
log{2}10=q/p⇔10=2^(q/p)⇔10^p=2^q⇔5^p=2^(q-p).log{2}10>log{2}2=1よりq>pであることと
2と5が互いにsoであることにより5^p=2^(q-p)を満たす自然数(p, q)の組は存在しない.
よってlog{2}10は無理数であり(n-1)log{2}10を整数にする自然数nは存在しない.
このこととk=[1+(n-1)log{2}10]とおくことにより命題☆が真であることが分かる.

(2)　nが2以上の整数であるとき1+(n-1)log{2}10=n*log{2}10+log{2}(2/10)<n*log{2}10
であることから, 各自然数kに対してk∈[(n-1)log{2}10, 1+(n-1)log{2}10)を満たす自然数n
は高々1つである.自然数Nに対して2^N=10^(N*log2)であるからS_Nの中に最高位が1である数は
[N*log2]個ある.S_NはN個の要素からなる集合であるので
(N*log2-1)/N<P_N<N*log2/N=log2.lim[N→∞]{(N*log2-1)/N}=log2よりlim_[N→∞]P_N=log2.
265：Мечислав(☆9) （DTxrDxh6）：2005/03/28(月) 15:41:56: ×　であるが自然数p, qを用いてlog{2}10=q/pと書けるとする.
○　であるが, 自然数p, qを用いてlog{2}10=q/pと書けるとすると,

×　2と5が互いにsoであることにより
○　2と5が互いに素であることにより
266：green （xQkqlhqM）：2005/03/28(月) 15:51:29: >>264-265
読ませて頂きます。
ｍ（＿　＿）ｍ
267：green （xQkqlhqM）：2005/03/28(月) 20:40:18: 31 名前： green 投稿日： 2005/03/13(日) 23:36:38

続き
(3) 3桁の整数の百の位，十の位，一の位の数字をそれぞれA，B，Cとする。
　　A＜B＜Cとなる整数は全部で[カ]個あり，A≧B＞Cとなる整数は全部で[キ]個ある。
268：green （xQkqlhqM）：2005/03/28(月) 20:40:55: [カ]
1 ≦ A ＜ B ＜ C だから、1～9　から異なる3つの数字をとってきて、それを小さい順に並べる並べ方の総数
を求めればよい。　∴　C[9 , 3] = 84 (個)
269：green （xQkqlhqM）：2005/03/28(月) 20:45:28: こけ氏の解答↓

[キ]
次に，A≧B＞Cのときを考える。0～9の札にジョーカー1枚を入れる。
この11枚のカードから3つ選べば，例えば，「0，8，ジョーカー」=「880」
「4，1，ジョーカー」=「441」，「1，4，2」=「421」というように数字が定まる。
∴11C3=165個・・・答

(注)ジョーカーは等号を満たすように定めてください。。
　　この方法は塾のS籐先生(口ひげ+)から教わった方法です。
　　等号が2つあるケース(A≧B≧Cとか)もジョーカーを増やせばいいだけという，
　　応用が利く方法なので覚えてみてください。

ジョーカー（・∀・）ｲｲ!!
あと、LAR-men 氏の解答も読ませていただきます。>>39
270：Мечислав(☆9) （DTxrDxh6）：2005/03/30(水) 11:03:00: >>269
ええっと。次は初代スレ>>278
http://school2.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1061202039/278
かな？
271：green （xQkqlhqM）：2005/03/30(水) 13:55:25: >>270
ｍ（＿　＿）ｍ

278 名前：大学への名無しさん：03/08/20 23:45 ID:g5H+6aar
さいころを振り、出た目の数で17を割った余りをX1（エックスワン）とする
ただし、1で割った余りは0である
さらにさいころを振り、出た目の数でX1を割った数の余りをX2（エックスツー）とする
以下同様にして、Xnが決まればさいころを振り、出た目の数で割った余りをXn+1とする
このようにしてXn　n＝1，2，3・・・を定める

各nに対し、Xｎ＝１となる確率を求めよ
272：臺地 （qpPuO9q2）：2005/03/30(水) 16:47:16: あのー>>197は終わったってことでいいですね？それじゃあ本スレと関連したお話を・・・
2＾n（2の冪）という形の数は面白い性質を持っています。その一つが本スレver.10.0@830：

830 名前：大学への名無しさん：04/01/20 13:54 ID:Or4FOJAK
面白い問題見つけたので投下。
全ての自然数は、2^nの最初の部分として現れることを示せ。
（但し、log2が無理数であることは証明なしに用いてよい。）
＊例えば2^10（=1024）なら1,10,102,1024が現れる。

です。
273：名無し研究員さん：2005/03/30(水) 16:47:28: 証明の概略を書きます。緑氏が>>246でやったのと同じ考え方で、2＾nの最初の部分の数字
がaに一致するための必要十分条件は、
「任意のaに対して、正の整数k,nをうまく取ればa・10＾k≦2＾n<（a+1）・10＾k・・・①が成立すること」です。
（論理式で書けば∀a∈N；∃（k,n）∈N＾2；a・10＾k≦2＾n<（a+1）・10＾k）
常用対数を取って、①⇔loga+k≦nlog2<log(a+1)+k・・・②

今、数直線x軸の正の部分(半直線)からできた糸を、周の長さが1である(ガムテープみたいな)
円筒形の芯に巻きつけていくことを考えます。原点Oを出発点として、芯のどこかにテープで
くっつけ、半時計周りに糸をぐるぐる巻きつけていきます。

このとき、x軸上の区間loga+k≦x<log(a+1)+k(aは固定、k=1,2,3・・・)はすべてこの円周上の同じ
区間にかさなりますね(円周が1なんだから)。
274：名無し研究員さん：2005/03/30(水) 16:47:37: (続き)
一方、a_n=nlog2(n=0,1,2,3・・・)で数列{a_n}を定めます。
点a_nは円周上にどのように分布しているでしょうか。
a_0はO、a_1はそこからlog2回った点、a_2はそこからさらにlog2回った点、・・・・です。
i,j(i<j)に対して、a_iとa_jが円周上で重なることがあるかどうか考えて見ましょう。
もし重なったとすれば、a_j-a_i=(j-i)log2=自然数、つまりlog2=自然数/j-i=有理数となります。
しかるにlog2は無理数でありますから(暇なら示してみて)、矛盾です。
よってa_nは円周上ですべて異なる点として現れてきます。

しかも点a_nは円周上に密に分布しています。つまり、円周のどんな区間を取っても、それが一点のみ
からなる集合でない限り、かならずa_nが少なくとも一つ存在することが示せます。

よってどんな自然数a、kに対しても、あるnを取ってきてk+loga≦a_n<k+log(a+1)を成立させる
ことができます。このことから、
「任意のaに対して、正の整数k,nをうまく取れば①(⇔②)が成立すること」も言えますね。

これで証明完了です。当時本スレではかなり盛り上がっていたようです。解答もいくつかあるようで、
難解に見えますが基本的なアイデアは上に書いたようなものだったのでは
ないでしょうか。・・・・そんなわけで>>1の希望にこたえてあげようプロジェクトでした。
わかりにくければさらに書きます。感想ｷﾎﾞﾝ
275：臺地 （qpPuO9q2）：2005/03/30(水) 17:11:42: >>273-274は俺です。

>>263
＞[■■■]□□□■□　とする。
＞[■■■■]□□□□　とする。
面倒でも「何を」にあたる部分を書いた方がいいような

>>264
実はlog2が無理数であることはここで示されてましたか。
ちなみに(2)を一般化して、Sから一個2の冪をとってきたとき、その最初の部分の数が
aに一致する確率はlog_{10}(1+1/a)だそうです。a=1とすればバッチリ一致してますね。
276：green （xQkqlhqM）：2005/03/30(水) 21:01:25: じっくり読ませていただきます。 (´Д｀)
277：green （xQkqlhqM）：2005/03/30(水) 21:05:40: >>275
子音を□で、母音を■で表すことにし、
[■■■]を一つと見なして、

[■■■]□□□■□

の6個の配列方法を考えると…

みたいな説明を書けばよいということですね。
278：mm：2005/03/30(水) 21:06:23: はじめましてこんにちは。
僕は数学が（かなり）苦手な浪人生です。恥ずかしい質問かもわからないんですが、
>>274で
＞しかも点a_nは円周上に密に分布しています。つまり、円周のどんな区間を取っても、それが一点のみ
＞からなる集合でない限り、かならずa_nが少なくとも一つ存在することが示せます。
は、直感的には正しい気がするんですけど、明らかなんですか？
答案に書くときどうやって書くか試してるんですけど、どうもうまくいかなくて・・・
279：臺地 （qpPuO9q2）：2005/03/31(木) 11:00:08: >>277
その通りです。

>>278
ようこそ、歓迎っす！
うぐっ痛いところを突かれた・・・・明らかではないですよね。問題の解説にもこの証明は
書いてなく、「直観的にわかりますね」って感じでさらりと触れてあるだけでした・・・
実際に証明するにあたって示すのが一番難しい部分かもしれません。てなわけで全然
はずかしい質問でも何でもないっすよ！たしか先生がきちっとした答案を書かれていたと
思います。俺も考えてみます。なのでちょっと待ってて
280：green （xQkqlhqM）：2005/03/31(木) 13:20:20: >>278
初めまして。よろしく！

>>272-274
大筋は大体理解できました。
mmさんの質問に臺地さんがどう答えるのかも興味あります。
でも、なんか難しい話になりそうな気が…
図書館から借りてきた本で、
有理数の稠密性とか実数の性質についてちょっと勉強してみます。
281：Мечислав(☆9) （DTxrDxh6）：2005/03/31(木) 18:24:57: えと、差し出がましいようですが、ドゾー。
http://proxy.f2.ymdb.yahoofs.jp/users/5daaa0d9/bc/1220.pdf?bcWymwCB4KI25zR6
282：臺地 （qpPuO9q2）：2005/03/31(木) 18:28:53: >>278>>280
すみません俺にはわかりませんでしたorz
なので先生に頼んで一番すっきりした解答を貼ってもらった次第です。
さらに質問あればﾄﾞｿﾞｰ
283：mm：2005/03/31(木) 18:29:12: >>279-280
よろしくお願いします。

>>279
高校の先生に似た質問をしたときは「想像力が足りない」と一蹴されました。
自分の能力が足りないのだと思っていました・・・
284：mm：2005/03/31(木) 18:31:25: あ、ジャストタイミングだ。
でもごめんなさい、ちょっと用事があるので外出します。
>>281
403ぽいですよぉ
285：臺地 （qpPuO9q2）：2005/03/31(木) 18:39:48: おかしいな・・・こっちでは普通に見れるけど
286：green （xQkqlhqM）：2005/03/31(木) 19:12:22: >>284
281のアドレスをコピペして貼り付けたら見れたよ。
287：名無し研究員さん：2005/03/31(木) 19:54:52: ＞しかも点a_nは円周上に密に分布しています。つまり、円周のどんな区間を取っても、それが一点のみ
＞からなる集合でない限り、かならずa_nが少なくとも一つ存在することが示せます。
を示すためには数式で証明しないといけないから結局循環論法になるだけだと思うけど。
288：mm：2005/03/31(木) 23:18:14: ブラウザ変えたら見られました。

えーと、すいません質問です。
1行目a_nはa_mでないですか？
3行目から4,5行目は何で言えるんですか？
10行目したがって～以降もどうしていえるんでしょう？

頓珍漢なこと言っているかもしれませんがお願いします
289：臺地 （qpPuO9q2）：2005/04/02(土) 13:16:26: >>287
272-274は全然証明でもなんでもないね。単にイメージしてもらうためのものでした。
すまん

>>288
一行目はタイプミスだと思います。あとの二つは・・・ごめん・・・やっぱり俺にはわからなかった
ので先生に回答頼みました。もうちょっと待ってて。
290：green （xQkqlhqM）：2005/04/02(土) 23:50:42: さいころを振り、出た目の数で17を割った余りをX1（エックスワン）とする
ただし、1で割った余りは0である
さらにさいころを振り、出た目の数でX1を割った数の余りをX2（エックスツー）とする
以下同様にして、Xnが決まればさいころを振り、出た目の数で割った余りをXn+1とする
このようにしてXn　n＝1，2，3・・・を定める

各nに対し、Xｎ＝１となる確率を求めよ
291：green （xQkqlhqM）：2005/04/02(土) 23:57:03: 17 = 1*17 + 0 (X_1 = 0) → X_2 = 0 → ……　→ X_n = 0
17 = 2*8 + 1 (X_1 = 1)
17 = 3*5 + 2 (X_1 = 2) → X_n ≠ 1
17 = 4*4 + 1 (X_1 = 1)
17 = 5*3 + 2 (X_1 = 2) → X_n ≠ 1
17 = 6*2 + 5 (X_1 = 5)
292：green （xQkqlhqM）：2005/04/03(日) 00:07:54: X_ｎ＝１となる確率を P(X_n = 1) と書くことにする。

P(X_1 = 1) = 2/6 = 1/3 . (← さいころを一回振り、出た目が 2 or 4 のとき)
293：green （xQkqlhqM）：2005/04/03(日) 00:19:00: X_2＝１となるのは、
(i)一回目に 2 or 4 が出て、二回目に 1 以外の目が出たとき
∵ 1 を 2 以上の数で割ったときには余りが 1 で、1　を 1 で割ったときには余りが 0 だから.
この確率は 1/3*(5/6)
(ii)一回目に 6 が出て、二回目に 2 or 4 が出たとき
5 = 1*5 + 0 (X_2 = 0) → X_3 = 0 → ……　→ X_n = 0
5 = 2*2 + 1 (X_2 = 1)
5 = 3*1 + 2 (X_2 = 2) → X_n ≠ 1
5 = 4*1 + 1 (X_2 = 1)
5 = 5*5 + 0 (X_2 = 0) → X_3 = 0 → ……　→ X_n = 0
5 = 6*0 + 5 (X_2 = 5)

∴P(X_2 = 1) = 1/3*(5/6) + 1/6*1/3

(´-`).｡oO(こうやって書いていけば全部求まると思うんだけど、解答にはどう書いたらいいのだろう？)
294：green （xQkqlhqM）：2005/04/04(月) 21:44:01: ヒ(ﾟ∀ﾟ)━ト( ﾟ∀)━( 　゜)━(　　)━(｀　)━イ(Д｀ )━ナ(´Д｀)━イ(;´Д｀)━━━!!!
295：Мечислав(☆9) （DTxrDxh6）：2005/04/05(火) 02:05:08: >>288-289
えー。すみません。質問に答えるべく>>281のファイルを見直していたところ
致命的な欠陥を見つけてしまいました。
この問題は本スレで出されたときも何度も間違えた解答を提出し
そのたびに間違いを指摘され、訂正版をうｐするというのを繰り返してました。
ですから、もしかしたら>>281は最終バージョンではないかもしれませんが
ともかく、訂正版を作成しました。(何度目だ、全く。)
今回のバージョンにもマチガイがないとは限りませんので
疑問があれば、どしどし、質問なりダメだしをしてください。
えー、頼りない回答者でどうもすみません。ｍ（＿　＿）ｍ

http://proxy.f2.ymdb.yahoofs.jp/users/5daaa0d9/bc/2^n.pdf?bct0ByCB1ccebw4v
296：Мечислав(☆9) （DTxrDxh6）：2005/04/05(火) 02:09:20: >>293
えーっと、大筋それでよいですが。
P(X_2=1)を出すのにP(X_1=1)を利用してるわけで,
そこでやめちゃってるけど、もし
P(X_3=1)も計算するつもりならP(X_2=1)等を利用するわけですよね。

だとすれば、○○○が利用できそうじゃないですか。
297：green （xQkqlhqM）：2005/04/05(火) 12:04:12: 漸化式ですかね？
ちょっと考えたんだけどできなかった。
P(X_n = 1) は n できれいに表せるのかな？
もう少し考えてみます。ｍ（＿　＿）ｍ
298：mm：2005/04/07(木) 07:16:59: >>295ｍ（＿　＿）ｍ
読ませていただきます
299：名無し研究員さん：2005/04/10(日) 18:22:15: (1)x,yは任意の正数、a,bは0≦a≦1,0≦b≦1,a+b=1を満たす任意の実数とする。
log(ax+by)≧alogｘ+blogyを示せ。
(2)x,y,zは任意の正数、a,b,cは0≦a≦1,0≦b≦1,0≦c≦1,a+b+c=1を満たす任意の実数とする。
log(ax+by+cz)≧alogｘ+blogy+clogzを示せ。
(3)k=1,2,3・・・,nに対して、x_kは正数、a_kはΣ[k=1,n]a_k=1を満たす正数とする。
log{Σ[k=1,n]a_k*x_k}≧Σ[k=1,n]a_k*logx_kを示せ。
300：green （xQkqlhqM）：2005/04/11(月) 01:00:32: 問題キター
301：green （xQkqlhqM）：2005/04/11(月) 01:03:43: >>290
P(X_n+1=1) = 5/6*P(X=n) + 1/3*(5/6)^n

これを解けばいいっぽい。
302：Мечислав(☆9) （DTxrDxh6）：2005/04/12(火) 15:10:37: >>301
えーっと。そう思うならそこまでの解答を書いてもらえませんか？

あとこの漸化式そのものをとくことはできますか？(失礼な質問だったらごめん)
303：green （xQkqlhqM）：2005/04/12(火) 22:48:02: 最近ちょっと忙しいので、今週中には書きます
ｍ（＿　＿）ｍ
304：臺地 （qpPuO9q2）：2005/04/16(土) 23:23:01: >>295
＞a_1は無理数なのでa_1>a_ν1(これって「このようなν1が存在する」という意味ですか？)
＞a_(λ1ν2)は無理数なのでa_λ1>a_(λ1ν2)
ここをさらに詳しくお願いします。
305：Мечислав(☆9) （DTxrDxh6）：2005/04/17(日) 01:53:50: そうです。書き忘れ。そういう自然数ν_1が存在するっていうつもりでした。
すんません。
より詳しくは

0<a_1<1でa_1が無理数なので
0<a_1<2a_1<3a_1<…<(ν_1-1)a_1<1<ν_1a_1<1+a_1
となる自然数ν_1があるはずです。
なぜならa_1が無理数なので何倍かしてジャスト1ってことはあり得ないし,
何倍かしてあと、もう一度a_1を足すと1を超えちゃうってときは
1とその何倍かって数の差はa_1を下回ります.
そうすると何倍かしてはじめて1を超えたときは,その数の小数部分はa_1を下回るはずです.
だからa_(ν_1)<a_1となる番号ν_1が取れるわけです.
このa_(ν_1)=a_(λ_1)とおきます.
この考えと全く同様にa_(λ_2)<a_(λ_1)なる番号λ_2もとれます.

って書きたかったのです。m(_ _)m
306：臺地 （qpPuO9q2）：2005/04/17(日) 02:30:53: >>305
なるほど。前面には出てませんがφ(mφ(x))=φ(mx)が大きな役目を果たしているのですね。
さらに疑問なのですが、lim[λ→∞]a_λ=c>0を仮定したとき、0<c<a_λ<2cなるλが存在すること
からa_(λ+1)<cが言える(pdfで下から五行目)のはどうしてなのでしょうか。
307：臺地 （qpPuO9q2）：2005/04/17(日) 02:33:24: 間違えた。
lim[n→∞]a_λ_n=c>0を仮定したとき、0<c<a_λ_n<2cなるλ_nが存在すること
からa_λ_(n+1)<cが言える(pdfで下から五行目)のはどうしてなのでしょうか。
308：mm：2005/04/17(日) 21:38:24: >>305読んでちょっと理解が進みました。僕も>>306が次の疑問です。
よろしくお願いしますm( )m
309：Мечислав(☆9) （DTxrDxh6）：2005/04/18(月) 21:01:14: >>306-308

<c<a_(λ_n)<2c

は幅取りすぎでしたね。正しくは
0<c<1だから
(μ-1)c<1<μc<1+c
を満たす自然数μは存在します。
んで、a_(λ_n)→c(n→∞)だったら
c<a_(λ_n)<c+((1+c)-μc)/μ
となる番号nが取れます。
そしたら
1<μc<μa_(λ_n)<μc+(1+c)-μc=1+c
となってa_(λ_(n+1))<cがいえてしまい、
a_(λ_n)が正を保ち、減少しながら正の数cに収束することに
反します。

でした。なんどもなんどもすみません。m(_ _)m
310：臺地 （qpPuO9q2）：2005/04/18(月) 23:36:32: >>309
なるほど。a_(μλ_n)=φ(μa_(λ_n))=μa_λ_n-[μa_λ_n]<cってことですね。
納得です。mm氏はどう？
311：mm：2005/04/19(火) 00:19:09: 今読んでます。一つ一つの式の意味は分かるんですが
流れがつかめない・・・数学が苦手ってこういうことなのかな。
式を追っていって気づいたら矛盾が導かれている、みたいな感じです。
それでも少しずつ分かってきました～
312：mm：2005/04/21(木) 23:51:10: >>295理解しました。
遅くなってごめんなさい。いちおsageで
313：臺地 （qpPuO9q2）：2005/04/22(金) 00:32:06: 実は>>299は俺なんですが・・・・難しい？

小ネタ1
tを実数とし、t-1≦x≦tにおける関数f(x)=x＾2-1の最大値をM(t)、最小値をm(t)
とする。y=M(t)、m(t)のグラフを書け。

普通に解いたのでは面白くないので最大値・最小値の候補の考え方を使ってみてください。
max,minの記号が有用です。
314：mm：2005/04/23(土) 16:03:54: M(t)=max{f(t-1),f(t)}
m(t)=min{f(t-1),f(t)}ただし0≦t≦1のときは0
後はグラフを書けば簡単てことですね！
315：臺地 （qpPuO9q2）：2005/04/24(日) 19:09:23: >>314
＞後はグラフを書けば簡単
もうちょい詳しくヨロ。

入試で出たら差がつくでしょう。
f(x)=|xlogx-tx|(tは定数)の0<x≦eにおける最大値をM(t)とおく。
M(t)がt=αで最小になるとき、αの満たすべき等式を求めよ。
316：mm：2005/04/24(日) 20:29:46: ty平面上にy=f(t-1)=t^2-2t,y=f(t)=t^2-1のグラフを重ねて書きます。
あとはこの2つのグラフでyが大きくなるほうのグラフをなぞったものがy=M(t)のグラフ。
小さくなるほうのグラフを「0≦t≦1のときは0」に気をつけてなぞったものが
y=m(t)のグラフとなります。
317：Мечислав(☆9) （DTxrDxh6）：2005/04/24(日) 21:30:19: えー。
出題してもいいかな。