俺に数学を教えてください - 1110674207

18：green：2005/03/13(日) 21:41:42: √y 1

(1) a，bを実数の定数として，f(x)=x^3+x^2+ax+b が，f(cos60°+isin60°)=0
　　を満たすとき，a=[ア]，b=[イ]，f([ウ])=0 である。
19：green：2005/03/13(日) 21:50:49: [解答]
α = cos60°+ isin60° とすると、ド・モアブルの定理より、
α^3 = cos180° + isin60°= - 1
α^2 = cos120° + isin120° = -1/2 + √3/2*i
aα = a(cos60°+ isin60°) = 1/2*a + √3/2*a*i
∴ f(α) = α^3 + α^2 + aα + b = (- 1 - 1/2 + 1/2*a + b ) + √3/2(1 + a)i = 0
a ，b は実数なので、 (- 1 - 1/2 + 1/2*a + b ) , √3/2(1 + a) も実数であり、
√3/2(1 + a)　= 0 かつ　 (- 1 - 1/2 + 1/2*a + b ) = 0　が成り立つ。
これを解いて　a = -1 , b = 2 ………(答）
20：Мечислав(☆9) （DTxrDxh6）：2005/03/13(日) 22:02:55: >>19
穴うめだったら
実係数の三次方程式f(x)=0の解のひとつが
1/2+√3i/2(=αとする)なんだからもうひとつ1/2-√3i/2も解で
f(x)=0は実係数だから実数解をひとつは持つのでそれをβとして
f(x)の最大次係数が1であることを利用して
f(x)=(x-α)(x-α^)(x-β)
を係数比較するって手もありますね。
21：green：2005/03/13(日) 22:13:28: f(x) は実数係数の整式だから、α = cos60°+ isin60°　が解なら、
α~ = cos60°- i*sin60°も解である。もう一つの解を β とおくと、因数定理より
f(x) = x^3 + x^2 - x + 2 = (x - α)(x - α~)(x - β) が恒等式であるから、
右辺を展開して両辺の係数を比較することによって、β = - 2 が得られる。
よって、[ウ] = 1/2 - √3/2*i , - 2 ………(答)
22：green：2005/03/13(日) 22:17:03: ああ、そうでした。
二度手間だった　(；´Д｀)
>>21 だけで　[ア] も　[イ] も　[ウ] も埋まる罠
23：green：2005/03/13(日) 22:20:43: (2) 0°≦θ≦120°において，方程式：√(sinθ)=cosθ を満たす実数θの個数は
　　[エ]個である。また，この方程式を満たすθに対して，tan(θ/2)=[オ]である。
24：green：2005/03/13(日) 22:55:16: [解答]
√(sinθ) = cosθ ⇔　sinθ = (cosθ)^2 …①　かつ　cosθ ≧ 0 ……②
①　⇔　sinθ = 1 - (sinθ)^2
　　　⇔ (sinθ)^2 + sinθ - 1 = 0
　　　⇔ sinθ = (- 1 ± √5)/2
0°≦θ≦120°のもとで　② ⇔ 0°≦θ≦90°　なので、sinθ ≧ 0
よって、sinθ = (- 1 + √5)/2
これをみたす実数　θ　の個数は　1個　　………(答)
25：green：2005/03/13(日) 23:08:41: このとき　cosθ = {√(- 2 + 2√5)}/2　……③
{tan(θ/2)}^2 = {sin(θ/2)}^2/{cos(θ/2)}^2 = (1 - cosθ)/(1 + cosθ)
これに③を代入して整理、分母を有理化すると、
tan(θ/2) = √[{1 + √5 - 2√(- 2 + 2√5)}{(3 + √5)}]/2 .

間違ってそう　(；´Д｀)
26：green：2005/03/13(日) 23:11:24: 「tan(θ/2) は正だから」を付け加え。
27：LAR-men （lBLdA0dk）：2005/03/13(日) 23:24:10: greenさんﾄﾞﾓはじめまして
いきなりですが１つ質問です
どうして2ch本スレでなくてこっちにスレ立てたの？
28：LAR-men （lBLdA0dk）：2005/03/13(日) 23:27:09: 今の本スレのスレタイには｢最終章｣ってあるけどスレ主がいれば次スレも続くと
思いますよ。
29：LAR-men （lBLdA0dk）：2005/03/13(日) 23:28:36: えっと研究所ではまずいというわけではないです
連投ｽﾏｿ
30：green：2005/03/13(日) 23:31:00: はじめまして。
これから徐々に分かってくると思いますが、俺が加わると本スレの
レベルがかなり低くなってしまうと思ったからであります。
31：green：2005/03/13(日) 23:36:38: 続き
(3) 3桁の整数の百の位，十の位，一の位の数字をそれぞれA，B，Cとする。
　　A＜B＜Cとなる整数は全部で[カ]個あり，A≧B＞Cとなる整数は全部で[キ]個ある。

[カ]
1～9　から異なる3つの数字をとってきて、それを小さい順に並べる並べ方の総数に等しいから
C[9 , 3] = 84 (個)
32：LAR-men （lBLdA0dk）：2005/03/13(日) 23:39:14: そっかー意識しすぎだと思うけどなあ・・・
過去ログでわからない問題とかの質問とかも歓迎ですよ
33：green：2005/03/13(日) 23:40:16: [キ]
樹形図を書いて調べました。
110
220
221
310
……
という風に。例えば百の位が3のときの場合の数は一つ前の百の位が2のときの場合の数を利用できるので
順番に足していきました。答えは165(個)　.
34：Мечислав(☆9) （DTxrDxh6）：2005/03/13(日) 23:41:13: >>24-26
>>25の整理、有理化の手順を詳しく書いてみてください。
35：Мечислав(☆9) （DTxrDxh6）：2005/03/13(日) 23:43:35: >>31
1≦A＜B＜Cだからですね。
36：green：2005/03/13(日) 23:46:10: >>32
よろしくお願いします。

(4) 2*(5^12)+3を13で割った余りは[ク]である。
[解答]
以下はすべて mod 13 とする。
5^2 = 25 ≡ - 1
5^12 = (5^2)^6 ≡ (-1)^6 ≡ 1
2*(5^12) ≡ 2
∴2*(5^12) + 3 ≡ 5 .
37：Мечислав(☆9) （DTxrDxh6）：2005/03/13(日) 23:50:19: >>33
A=0のときは0個,
A=1のときは(B,C)=(1,0)の1個,
A=2のときは(B,C)の選び方の個数は,
{2,1,0}のうちから異なる三つを選ぶ方法の個数とおなじくC[3,2]
って具合に全部書いてみてください。
38：Мечислав(☆9) （DTxrDxh6）：2005/03/13(日) 23:54:54: >>36
穴埋めならそれでおｋですが、
記述だとそういう方法を知っているかどうかを試したいわけじゃない
と思われますので、(大体、合同式が積を保存するかどうかなんて
そう明らかじゃないんじゃない？受験生レベルだったら)
別の方法というか、モデュロを使わない(結果的に使ったのと同じ
論法になってしまうんだけど)書き方を見せてみてください。
39：LAR-men （lBLdA0dk）：2005/03/13(日) 23:56:03: A≧B⇔A=B∨A>BだからA≧B>C⇔(A=B∨A>B)∧(B>C)⇔(A=B∧B>C)∨(A>B∧B>C)
⇔(A=B∧B>C)∨(A>B>C)
したがって、Cが0になりうることに注意して、また[カ]の考え方も利用して、[キ]=C[10,2]+C[10,3]=165

こんなのもｱﾘかも
40：Мечислав(☆9) （DTxrDxh6）：2005/03/13(日) 23:57:26: >>39
ベスト解法！！
41：green：2005/03/13(日) 23:59:09: >>34
cosθ = {√(- 2 + 2√5)}/2 .
{tan(θ/2)}^2 = {sin(θ/2)}^2/{cos(θ/2)}^2 = (1 - cosθ)/(1 + cosθ)
={2 -√(- 2 + 2√5)}/{2 + √(- 2 + 2√5)}
={2 -√(- 2 + 2√5)}^2/{4 - (- 2 + 2√5)}
={4 + (-2 + 2√5) -4√(- 2 + 2√5)}/(6 - 2√5)
={2 + 2√5 - 4√(- 2 + 2√5)}/(6 - 2√5)
={1 + √5 - 2√(- 2 + 2√5)}/(3 - √5)
={1 + √5 - 2√(- 2 + 2√5)}(3 + √5)/(3 - √5)(3 + √5)
={1 + √5 - 2√(- 2 + 2√5)}(3 + √5)/4

tan(θ/2) > 0 だから、
tan(θ/2) = √[{1 + √5 - 2√(- 2 + 2√5)}{(3 + √5)}]/2 .

です。間違ってますか？
42：Мечислав(☆9) （DTxrDxh6）：2005/03/14(月) 00:02:31: >>41
おｋです。ただ分子の外側の根号ははずれるのでは？
43：green：2005/03/14(月) 00:08:52: 5^2 = 25 = 13*2 -1
5^12 = (5^2)^6　= (13*2 -1)^6
= Σ[k=0 , 6](13*2)^(n-k)*(-1)^k = (13 の倍数) + 1
∴2*(5^12) = (13 の倍数) + 2
∴2*(5^12) + 3 = (13 の倍数) + 2 + 3 = (13 の倍数) + 5
44：Мечислав(☆9) （DTxrDxh6）：2005/03/14(月) 00:09:38: >>43
了解。
45：green：2005/03/14(月) 00:10:37: >>42
なんではずれるとお分かりになるんですか？
46：green：2005/03/14(月) 00:11:51: ミスった
Σ[k=0 , 6](13*2)^(6-k)*(-1)^k　だな。
ｎじゃない。
47：LAR-men （lBLdA0dk）：2005/03/14(月) 00:12:54: こけ氏の解法巧いなー
48：Мечислав(☆9) （DTxrDxh6）：2005/03/14(月) 00:14:01: >>45
えーっと
3+√5=(6+2√5)/2=(1+2√5+5)/2だから第二因子は外れるなー。
じゃあ
第一因子もはずれるんじゃないか？
ためしてみよー
ってかんじかな。
49：green：2005/03/14(月) 00:15:11: >>37
ちょっとお待ちください。
紙には殴り書きしただけなので…。
50：Мечислав(☆9) （DTxrDxh6）：2005/03/14(月) 00:15:36: >>46
二項係数もぬけてるね。
51：Мечислав(☆9) （DTxrDxh6）：2005/03/14(月) 00:16:22: レスポンスのはやさ、前管理人なみだね＞ﾗﾒﾝさん
52：green：2005/03/14(月) 00:20:41: うわｗほんと
メチャクチャだ

Σ[k=0 , 6]C[6 , k](13*2)^(6-k)*(-1)^k
53：LAR-men （lBLdA0dk）：2005/03/14(月) 00:22:51: >>51
ぃぇぃぇ㌧でもない
>>52
こんな時間だけど起きてて大丈夫？
54：green：2005/03/14(月) 00:26:18: そうですね。そろそろ寝ないといけないので、
上の方のやつは明日ということで。
では、失礼します。ｍ（＿　＿）ｍ
55：Мечислав(☆9) （DTxrDxh6）：2005/03/14(月) 00:29:28: >>54
乙。
ガンガレー。
56：green：2005/03/14(月) 18:41:49: まず、根号をはずします。
3 + √5 = (6 + 2√5)/2 = (1 + √5)^2/2
{1 + √5 - 2√(- 2 + 2√5)}　= {2 + 2√5 - 4√(- 2 + 2√5)}/2 = {2 - √(- 2 + 2√5)}^2/2

∴tan(θ/2) = √[{1 + √5 - 2√(- 2 + 2√5)}{(3 + √5)}]/2 = {2 - √(- 2 + 2√5)}(1 + √5)/4 .

(´-`).｡oO(こういう複雑な式でも根号ははずさなければ減点されるのだろうか？）
57：green：2005/03/14(月) 18:45:17: 残りの問題を解いてきます。
58：green：2005/03/14(月) 20:25:31: √y 3

座標平面上にO(0，0)と直線L：y=ax+1，円C：(x-1)^2+y^2=1 がある。
LとCが異なる2点P，Qで交わるとき，次の問に答えよ。

(1) aの取りえる値の範囲を求めよ。

(2) △OPQの面積をaを用いて表せ。

(3) △OPQがx軸によって，面積の等しい2つの三角形に分かれるとき，
△OPQの内接円の半径を求めよ。ただし，答は分母を有理化しなくてもよい。
59：green：2005/03/14(月) 20:53:49: [解答]
y = ax + 1 ………①
(x - 1)^2 + y^2 = 1　……②　とする。
①を②に代入して
(x - 1)^2 + (ax + 1)^2 = 1
(a^2 + 1)x^2 + 2(a -1)x + 1 = 0
x = {- a + 1 ±√(-2a)}/(a^2 + 1)
よって、LとCが異なる2点P，Qで交わるためには a < 0 ………(答)
であることが必要十分である。この x を①に代入することにより、
P,Q　の座標が得られる。P(x_p , y_p) , Q(x_q , y_q) とすると、
x_p = {- a + 1 -√(-2a)}/(a^2 + 1) , y_p = {a + 1 -a√(-2a)}/(a^2 + 1)
x_q = {- a + 1 +√(-2a)}/(a^2 + 1) , y_q = {a + 1 +a√(-2a)}/(a^2 + 1)
よって、△OPQ = 1/2*|x_p*y_q - y_p*x_q| = {√(-2a)}/(a^2 + 1) . ……(答)

PQ と x 軸との交点を R とおく。
△OPQがx軸によって，面積の等しい2つの三角形に分かれるとき、
△OPR = △OQR　となるから、　y_p = |y_q|　、
これを解いて a = -1 .
このとき、y=　- x + 1 は、円Cの中心(1 , 0) を通るから、
PQ は円の直径である。また、△OPQ = √2
内接円の半径を r とおくと、△OPQ の面積について次の式が成立する。
1/2*r(PQ + OP + OQ) = √2　………③
PQ = 2 , OP = √(2 -√2) , OQ = √(2 + √2)
なぜならば、P , Q の座標は以下のようになるから。
P{(2-√2)/2 , √2/2}
Q{(2+√2)/2 , -√2/2}
これらを③に代入して整理すると
r = 2√2/{2 + √(2-√2) + √(2-√2)} ………(答)
60：Мечислав(☆9) （DTxrDxh6）：2005/03/14(月) 21:59:28: >>56
おｋ。できたほうがいいでしょうね。センター的穴埋めのケースもあるし。
61：Мечислав(☆9) （DTxrDxh6）：2005/03/14(月) 22:24:22: >>59
(1)図を描けばa<0は見えますね。
記述の答案なら
「CとLの共有点のx座標は、xの方程式
(x-1)^2+(ax+1)^2=1
即ち(a^2+1)x^2+2(a-1)x+1=0…☆の解。
したがってLとCが異なる二点で交わるためには
(a-1)^2-(a^2+1)>0即ちa<0であることが必要十分。」
でおｋかと。

(2)は「P(x_p, ax_p+1), Q(x_q, ax_q+1)とおけるが, x_p, x_qは
☆の二解であるので、
△OPQ = (1/2)*|x_p(ax_q+1)-(ax_p+1)x_q| =(1/2)|x_p-x_q|
= {√(-2a)}/(a^2 + 1)」
でいいですね。

(3)あなたの方針で結構ですけど、y_p>0と決め付けるのは
本当はちょとマズーですね。

全体にいえるのは、「代入して」「これを解いて」といった
手順自体の説明が目立つのが気になります。
手順を説明するのではなく、どうしてその手順で問題が解決するのか
を説明することを心がけたほうがよいかと。
あと掲示板上で丸数字は控えたほうがよいかとおもいます。
62：green：2005/03/14(月) 23:28:49: >>61
大変参考になりました。丸数字ってダメなのか (´Д｀；)
じゃあ★とか♪とか使えばいいのかな。

＞どうしてその手順で問題が解決するのか
＞を説明することを心がけたほうがよいかと。

なるほど。確かに　>>59　は説明を省きすぎた気がします。
63：green：2005/03/14(月) 23:30:09: √y 2

ＡＷＡＪＩＴＡＮ　の8文字のアルファベットを左から一列に並べる順列について，
次の問に答えなさい。

(1) 並べ方は全部で何通りあるか。

(2) 母音が2つ以上連続して並ぶような並べ方は何通りあるか。

(3) 母音が2つ連続して並ぶような並べ方は何通りあるか。
　　ただし，3つ以上連続するものは含まない。
64：green：2005/03/14(月) 23:43:29: 　□　□　□　□
↑　↑　↑　↑　↑
65：green：2005/03/14(月) 23:46:57: [解答]
(1)Aという同じ文字が3つあるから、8！/3！ = 6720(通り)
(2)余事象を考える。すなわち、母音が連続して並ばない並べ方をもとめて、6720　から引けばよい。
子音を□で表すことにする。(母音はAAAIの4つ、子音はWJTNの4つ)
　□　□　□　□
↑　↑　↑　↑　↑
母音どおしは連続して並ばないから、5つの矢印のところに、4つ母音をいれて{C[5 , 4] = 5(通り)}、
母音を並べて(4通り)　、子音を並べれば(4！通り)よいから、
5*4*4！ = 480(通り)
∴ 母音が2つ以上連続して並ぶような並べ方は 6720 -480 = 6240(通り)
66：green：2005/03/14(月) 23:50:47: (2)は、こけｋっこさんと答えが違うので2～3時間悩んでたのですが…(´Д｀；)
67：green：2005/03/15(火) 00:00:47: 誘惑に負けて、答えあわせをしようと思い、
こけｋっこさんの解答を見ると、（　ﾟдﾟ）　答えがちがう…
なぜだ～
68：Мечислав(☆9) （DTxrDxh6）：2005/03/15(火) 00:06:37: >>65
greenさんの解答でおｋかと。
こけくんは
母音が連続して並ばないケースのうち
●=母音、○=子音として
●○●○●○○●
などのケースを見落としています。
69：LAR-men （lBLdA0dk）：2005/03/15(火) 00:11:32: こけ氏の解答がまちがってると思われ
70：LAR-men （lBLdA0dk）：2005/03/15(火) 00:12:24: かぶった∧69get
71：Мечислав(☆9) （DTxrDxh6）：2005/03/15(火) 00:13:14: >>69
☆7？
72：green：2005/03/15(火) 00:30:10: ああ、よかった。
残りはまた明日書きます。では。
73：名無し研究員さん：2005/03/15(火) 19:03:37: 問題と試験の解答を書くだけなら
問題集買って一人でできるし、報告もそういうスレがあるとおもうので、
厳密さの指摘とか、失敗のメモとか、抽象化した解法、別解、解けた理由、思いつくまで、
というようなことの方が、提示板らしくて、それになにより今後のためになると思います
74：green：2005/03/15(火) 19:52:45: じゃあ具体的にどうすればいいんでしょうか？
75：green：2005/03/15(火) 20:02:49: 他の方々の意見もきぼん。
てゆ～か、73さんの想定してらっしゃるレベルに俺が届いていない可能性が高い。
この板の中で群を抜いて俺の数学の能力は低いと思います。
でも最終的にできるようになりたいんです。

＞問題と試験の解答を書くだけ
＞問題集買って一人でできるし、

これだと、独りよがりの解答になってしまう可能性があるから、
それを指摘してほしくてここに書き込んでみたのですが…。
現にМечислав(☆9)さんとかにアドバイスもらってて、
参考になってますし、こんな感じで進めてはダメですか？
76：Мечислав(☆9) （DTxrDxh6）：2005/03/15(火) 21:11:12: >>73
＞厳密さの指摘とか、失敗のメモとか、抽象化した解法、別解、解けた理由、思いつくまで、
最後のを除いて現にやってると思いますが。
77：73：2005/03/15(火) 21:20:28: ええと、個々の問題の添削であって、
受験数学とか方法は含まずにやりたいって解釈であってますか？
もしくは、解法の検討をするレベルでないから個々の問題のみということですか？

でも、たぶん参考書やここで勉強しての医学部受験が目標で、
レベルも定義を勉強しているような段階でないのですよね。

私は、解法の検討って最初からうまくできるものではないけれども、
問題を振り返って整理したものを、ここにも書き込んでもらって、
さらに指摘しあったりしたほうが、効率よく受験できるのではと思ったんです。
それに、折角いい人がいらっしゃるのだから、
今以上に参考になるやりとりができそうなのに、mottainaiとも思っています。
（（そして私は棚ぼた・・という下心があったりして）

いちROMなのに、強制するようなきつい言い方になってしまって、ごめんなさい。
78：green：2005/03/15(火) 21:44:09: >>77
>いちROMなのに、強制するようなきつい言い方になってしまって、ごめんなさい。

そーじゃ！反省せい！！
79：73：2005/03/15(火) 21:52:56: はい、落ち込んでおります。
「余所でやれ」ってつもりはまったくないので、
気にせずに続けて下さいね。
80：green （xQkqlhqM）：2005/03/15(火) 22:00:41: >>78　誰でつかアンタはｗ
78は俺じゃないです。
鳥つけますわｗ
81：green （xQkqlhqM）：2005/03/15(火) 22:14:38: >>77
＞ええと、個々の問題の添削であって、
＞受験数学とか方法は含まずにやりたいって解釈であってますか？
＞もしくは、解法の検討をするレベルでないから個々の問題のみということですか？

一つの問題からでも、背景や別解などできるだけたくさん学びたいと思っています。
要は本スレでのやりとりのような感じで、投下される問題を本スレより少し下げていただいて、
徐々にレベルアップしたいな、というのが理想です。
82：Мечислав(☆9) （DTxrDxh6）：2005/03/15(火) 22:14:43: >>77
＞ええと、個々の問題の添削であって、
＞受験数学とか方法は含まずにやりたいって解釈であってますか？
＞もしくは、解法の検討をするレベルでないから個々の問題のみということですか？

主張が今ひとつよくわかりません。いわゆる受験数学の技術なんてのは、
個々の問題(の添削等)を通じて、一般的な技術を獲得していくものだと思って
ますが。

＞棚ぼた

そのうち問題をこのスレで投下したりすることもありましょうし、それを解くなり、
ご自分で具体的に問題とあなたの解答を、このスレに書いてもらえれば
誰かの何らかコメントが得られるかもしれませんよ。
83：green （xQkqlhqM）：2005/03/15(火) 22:19:53: それと、俺の学力についてですが、もう少し書いておきます。
月刊大数の方は解答を読めば理解はできます。
東大(後期を除く)や京大の問題も、大体、解答を読めば理解できます。
難易度A～Cくらいの問題はできたりできなかったりですが。
なお、学力コンテストに応募するだけの力はまだないです。
84：green （xQkqlhqM）：2005/03/15(火) 22:26:19: あと、今日は解答を書けないかもしれないです。
今後の予定としては、とりあえず、一日一問くらいをメドに、
[こけ模試神剣風味。] の残りを解いていきます。
では失礼します。
85：Мечислав(☆9) （DTxrDxh6）：2005/03/15(火) 22:27:29: >>83
じゃあ、本スレついてけるはずだと思いますがね。
解答読んでもわからないなら、聞けばいいんだし。なんでって。
86：green （xQkqlhqM）：2005/03/16(水) 11:35:34: >>85
う～ん、そうでしょうか？
レベルの低い質問をすると、流れを中断してしまいそうで…
87：green （xQkqlhqM）：2005/03/16(水) 11:41:13: >>59
(3)
一箇所ミスってました。△OPQ = √2 /2 だから、
答えは　r = √2/{2 + √(2-√2) + √(2-√2)} ………(答) ですね。
88：green （xQkqlhqM）：2005/03/16(水) 12:00:56: (3)の別解を考えてみました。が、なぜか答えが合わない…(；´Д｀)

a = -1 のとき
x_p = {- a + 1 -√(-2a)}/(a^2 + 1) = (2 - √2)/2
y_p = {a + 1 -a√(-2a)}/(a^2 + 1) = √2/2
x_q = {- a + 1 +√(-2a)}/(a^2 + 1) = (2 + √2)/2
y_q = {a + 1 +a√(-2a)}/(a^2 + 1) = - √2/2

よって、直線PQ: x + y + 1 = 0
直線OQ：　(√2 - 1)x + y = 0
直線OP: (√2 + 1)x - y = 0
内接円の中心を I(p , q) 、その半径を r とおくと、
|- p - q + 1|/√2 = |(√2 - 1)p + q|/√(4 - 2√2) = |(√2 + 1)p - q|/√(4 + 2√2)　= r
89：green （xQkqlhqM）：2005/03/16(水) 12:07:47: ここで I は領域
x + y -1 < 0
(√2 - 1)x + y > 0
(√2 + 1)x - y < 0
内にあるから、
p + q - 1/√2 = {(√2 - 1)p + q}/√(4 - 2√2) = {-(√2 + 1)p + q}/√(4 + 2√2)　= r
√2 をかけて
p + q - 1　= {(√2 - 1)p + q}/√(2 - √2) = {-(√2 + 1)p + q}/√(2 + √2)　= √2*r

√(2 - √2) = A
√(2 + √2) = B とおくと、

(√2 - 1 + A)p + (A + 1)q = A
(√2 + 1 - B)p - (B + 1)q = B
90：green （xQkqlhqM）：2005/03/16(水) 12:20:13: 間違えた
(- p - q + 1)/√2 = {(√2 - 1)p + q}/√(4 - 2√2) = {-(√2 + 1)p + q}/√(4 + 2√2)　= r
√2 をかけて
-p - q + 1　= {(√2 - 1)p + q}/√(2 - √2) = {-(√2 + 1)p + q}/√(2 + √2)　= √2*r
91：green （xQkqlhqM）：2005/03/16(水) 12:29:15: （続き）
⊿ = -(√2 - 1 + A)(B + 1) - (√2 + 1 - B) (A + 1)
とおくと、クラメールの公式より

q = {B(√2 - 1 + A) - A(√2 + 1 - B)}/⊿ = -{(√2(A + B) - A + B}/⊿
p = {-A(B + 1) + B(A + 1)}/⊿ = (- A + B)/⊿

r = (p + q - 1)/√2
= -[(- A + B) + {(√2(A + B) - A + B} -⊿]/⊿√2
= 2/{√2*(A + B) + 2A - 2B +2}
=√2/{(A + B) +√2A -√2B +2}

となって、答えが合わない…
どこが間違っているのでしょう？
92：green （xQkqlhqM）：2005/03/16(水) 13:06:20: あ、分かった！

I は領域

x + y -1 < 0
(√2 - 1)x + y > 0
(√2 + 1)x - y > 0

内にあるから、

の最後の符号が逆だったんだ。上のように直せば、
答えは r = √2/{A - B + √2(A + B) + 2} となって答えが合う！
93：green （xQkqlhqM）：2005/03/16(水) 13:16:17: (確認)

√(2 - √2) = A
√(2 + √2) = B

において

2A^2 = 2(2 - √2) = 4 - 2√2
(2 - √2)^2*B^2 = (6 - 4√2)(2 + √2) = 12 + 6√2 - 8√2 - 8 = 4 - 2√2
よって、2A^2 = (2 - √2)^2*B^2
2A > 0 , (2 - √2)*B > 0 なので、
　 √2A = (2 - √2)*B　.
⇔√2A + (√2 - 2)*B = 0
⇔A - B + √2(A + B) + 2　= A + B + 2
94：green （xQkqlhqM）：2005/03/16(水) 13:19:08: 最初、(2) が誘導になっていることに気付かず、ずっと上の方針で計算していたため、
答えが合うまで　4～5時間かかった　(;´Д`)ﾊｧﾊｧ
95：Мечислав(☆9) （DTxrDxh6）：2005/03/17(木) 13:22:44: >>94
図を描くと, x軸が△OPQを2等分するaは-1であることは, まあ見えるでしょう.
でその後ですが,
このとき△OPQはPQ=2を斜辺とし, 直角でない内角の1つが67.5°である
直角三角形ですから, 直角をはさむ二辺の長さは, 2sin 67.5°, 2cos 67.5°,
△OPQ=2sin 67.5°cos 67.5°=sin 135°だから
内接円の半径は2sin 135°/2(1+sin 67.5°+cos 67.5°)
=√2/2(1+√2sin 112.5°)=√2/2{1+√(1-cos 225°)}=√2/2{1+√(2+√2)/√2}
=1/{√2+√(2+√2)}

って手もアリ。
96：green （xQkqlhqM）：2005/03/17(木) 17:35:05: ＞直角でない内角の1つが67.5°である
これはどうやって求めたのですか？
97：Мечислав(☆9) （DTxrDxh6）：2005/03/17(木) 19:26:00: >>96
a=-1のときのLとCの交点のうちy座標が正であるほうをPとすると
tan(-45°)=-1なので∠PRO=45°PR, ORともCの半径だから
△RPOは二等辺三角形。三角形の内角の和が2直角であることと
二等辺三角形の底角は等しいことから分かります。
98：green （xQkqlhqM）：2005/03/17(木) 19:36:35: >>97
ありがとう、分かりました！
99：green （xQkqlhqM）：2005/03/17(木) 19:47:24: あと、>>61 についてですが、

＞(3)あなたの方針で結構ですけど、y_p>0と決め付けるのは
＞本当はちょとマズーですね。

これは、どういうことでしょう？
図を書くと y_p > 0になるのは明らかじゃないですか？
まず、判別式からLとCが異なる2点で交わる条件は a < 0 という関係式がでて、
傾きが負で(0 , 1) を通る直線がLだから、Lと中心(1 , 0) で半径 1 の円C：(x-1)^2+y^2=1
との交点は少なくとも一方は正であることが分かり、そのうち x 座標が小さい方を P とおいたのが
>>59 で書いた解答なんですが…。

それとも↑のような説明を書いておくべきだという意味でしょうか？
100：green （xQkqlhqM）：2005/03/17(木) 19:49:42: 本スレの最初の方にあった問題↓　

辺の長さがAB=3、AC=4、BC=5、AD=6、BD=7、CD=8　である四面体ABCDの体積を求めよ。
101：green （xQkqlhqM）：2005/03/17(木) 19:56:35: [解答]
AB↑ = b↑ , AC↑ = c↑ , AD = d↑　とおくと、
|b↑| = 3 , |c↑| = 4 , |d↑| = 6
BC = 5　より |b↑ - c↑|^2 = 25 ∴ b↑・c↑ = 0
CD = 8　より |c↑ - d↑|^2 = 64 ∴ c↑・d↑ = -6
BD = 7　より |b↑ - d↑|^2 = 49 ∴ b↑・d↑ = -2
102：green （xQkqlhqM）：2005/03/17(木) 20:02:44: 点Aから平面BCDにおろした垂線の足を H とおき、
AH↑ = lb↑ + mc↑ nd↑　とおくと、AH ⊥ 平面BCD だから、以下の3式が成り立つ。
l + m + n = 1　……(★)
AH↑・DC↑ = 0 ……(♪)
AH↑・CB↑ = 0 ……(☆)
103：green （xQkqlhqM）：2005/03/17(木) 20:07:41: (♪) ⇔　(lb↑ + mc↑ + nd↑)・(c↑ - d↑) = 0
これを展開して整理すると
l + 11m -21n =0 ……(♪)’
(☆) ⇔　(lb↑ + mc↑ + nd↑)・(b↑ - c↑) = 0
これを展開して整理すると
9l - 16m + 4n =0　……(☆)’
これを解いて
l = 584/1000 , m = 386/1000 , n = 230/1000
104：green （xQkqlhqM）：2005/03/17(木) 20:14:53: |AH↑|^2 = |lb↑ + mc↑ + nd↑|^2
=1/1200^2*|586b↑ + 386c↑ + 230d↑|^2
=(584^2*9 + 386^2*16 + 230^2*36 - 2*2*586*230 - 2*6*386*230)/1200^2　(∵b↑・c↑ = 0, c↑・d↑ = -6 , b↑・d↑ = -2)
=5755200/1200^2
∴ |AH↑| = √5755200/1200 = √57552/120 = 4√3597/120 = √3597/30
105：green （xQkqlhqM）：2005/03/17(木) 20:21:20: 又、△BCD において余弦定理より、
cos∠BCD = (5^2 + 8^2 - 7^2)/2*5*8 = 1/2
∴∠BCD = 60°
∴sin∠BCD = √3/2
△BCD = 1/2*5*8*√3/2 = 10√3
四面体ABCD = 1/3*△BCD*AH = 1/3*10√3*√3597/30 = √1199/3　………(答)
106：green （xQkqlhqM）：2005/03/17(木) 20:23:02: これも半日かかった　(;´Д`)ﾊｧﾊｧ
107：LAR-men （lBLdA0dk）：2005/03/17(木) 22:49:18: ∠Aが直角だから、Aを原点にしてB(3,0,0)、C(0,4,0)、D(x,y,z)とおくと楽かも
108：LAR-men （lBLdA0dk）：2005/03/17(木) 22:49:58: ∠A→∠BAC
109：green （xQkqlhqM）：2005/03/17(木) 23:04:00: >>107-108
それでやると計算量が全然違いますね。
110：LAR-men （lBLdA0dk）：2005/03/17(木) 23:04:09: AD=6,BD=7,CD=8より、
x^2+y^2+z^2=36
(x-3)^2+y^2+z^2=49
x^2+(y-4)^2+z^2=64
したがって、x=-2/3,y=-3/2,z=(√1199)/6
四面体ABCDの体積=(1/3)*{(1/2)*3*4}*z=(√1199)/3
111：LAR-men （lBLdA0dk）：2005/03/17(木) 23:08:35: >>109
直角がからんだ問題はうまく座標をとると楽になることが多いかも
112：Мечислав(☆9) （DTxrDxh6）：2005/03/17(木) 23:48:57: >>111
これラメンさんの出題だったんか！！
113：green （xQkqlhqM）：2005/03/17(木) 23:59:40: >>111
座標設定…
苦手だなあ。でもできるようにならないと。

>Мечислав(☆9)さん
>>99をお願いします
114：green （xQkqlhqM）：2005/03/18(金) 00:13:36: 今日はもう寝ます
ｍ（＿　＿）ｍ
115：LAR-men （lBLdA0dk）：2005/03/18(金) 00:18:52: あ、最初にz>0っていっとかないとダメだ・・・

>>112
そうかも・・・
解いた事はあるんですが投下したかどうかは覚えてないです
116：Мечислав(☆9) （DTxrDxh6）：2005/03/18(金) 01:39:44: >>99
問題文にはLとCが異なる二点で交わるときその2点をP, Qとする、
としか書いてありません。

そしてあなたの解答には
Pのx座標を_p, Qのx座標x_qが
(x-1)^2+(ax+1)^2=1…★
の2解である、
と書いてあって、実際の★の2解のうち
{- a + 1 -√(-2a)}/(a^2 + 1)のほうを断りもなしにx_pとしている。

PとQが(Rのように)あなたが設定した文字であるならば
どのようなものをPと置こうと自由ですが、
PもQも問題文に不完全に与えられた文字です。
LとCの交点としてのみ。(どちらがPでどちらがQだとは問題はいってない)．
だから図でみて左上のほうをP, 右下のほうをQとするのは
問題文の筆者がした設定ではなく、あなたです。あなたがした設定です。
ですからあなたがした設定の説明は、するべきです。
117：Мечислав(☆9) （DTxrDxh6）：2005/03/18(金) 01:44:09: >>115
　　180 名前：大学への名無しさん投稿日：03/08/20 19:30 ID:UWD2Mm+d
　　辺の長さがAB=3、AC=4、BC=5、AD=6、BD=7、CD=8である正四面体ABCDの体積を求めよ

　　187 名前：９投稿日：03/08/20 19:52 ID:4Xfix5Bn
　　戻ってきた！！
　　>>180
　　ABCDは正四面体ではない！！よって本問は不能である！！！

　　190 名前：大学への名無しさん投稿日：03/08/20 19:54 ID:UWD2Mm+d
　　ごめん
　　正四面体じゃなくてただの四面体
　　気が付かなかった・・・

ってのが初代本スレにありますた。