◆ わからない問題はここに書いてね ◆ - 1078053072

306： ◆ZFABCDEYl.：2007/06/15(金) 22:09:56: そこで，定積分の基礎を根底から考えていくと，
本には
(k-1)/nとk/nの区間ζ(x)の代表値をとると
その極限値はこの代表値の取り方によらず，常に収束し
これを定積分の値としています。（wikiで調べたら
正確にはリーマン積分というみたいだけど。。）
このとき，区間⊿でとる代表値を極端に偏らせても定積分は
１つの値に定まるのだから，★は収束するんじゃないかと考えました。
307： ◆ZFABCDEYl.：2007/06/15(金) 22:15:11: もしお受験公式化できれば受験生としてはロピタルみたいに簡単に計算
できるからいいんじゃないかと思った次第です。慶應とかで便利そうというか。
私大医学部は答えがあってればかなり点を貰えるとか聞くわけでして。もちろん
国立は論述に厳しいから，お受験公式は一切使えないけど。
308： ◆ZFABCDEYl.：2007/06/17(日) 20:23:31: 条件付きだけど一般化できた。

すべての実数xに対して，f'(x)，f''(x)，f'''(x)が存在して，かつ，
f'''(x)が連続ならば，
a(n)={(1/n)Σ[k=1,n]f(k/n)}-∫[0,1]f(x)dx (n=1，2，3，・・・)
に対し，
lim[n→∞]{n*a(n)}=(1/2){f(1)-f(0)}になりました。
これを使うと長助流の不等式を使わなくてもおｋですね。ただ
f(x)の満たすべき条件がきつくなるけど。
309： ◆ZFABCDEYl.：2007/06/17(日) 20:26:17: lim[n→∞]{n^2*a(n)}もlim[n→∞]{n^3*a(n)}もおんなじ感じで
一般化できそうですな・・。
310： ◆ZFABCDEYl.：2007/06/17(日) 20:42:18: >>308の訂正。

「f(x)(x≧0)は負でないすべての実数xに対して，f'(x)，f''(x)，f'''(x)が存在して，かつ，
f'''(x)が連続ならば，」
でした。f(x)=1/(x+1)が代表例かな。
311： ◆ZFABCDEYl.：2007/06/17(日) 23:20:15: すみません。再訂正

x≧0を定義域とする連続関数f(x)が第一次導関数f'(x)，
第二次導関数f''(x)を持ち，かつ，f''(x)が連続ならば

です・・。

です。
312： ◆ZFABCDEYl.：2007/06/18(月) 03:42:58: すみませぬ。自作していて，分からない箇所が出てきてしまいました。

n，kを 1≦k≦n を満たす整数とし，(k-1)/n≦x≦k/n を定義域とする
連続関数f(x)の最大値をM(k)，最小値をm(k)とする．
このとき，lim[n→∞]{m(1)+m(2)+・・・+m(n)}/n^2=0，
lim[n→∞]{M(1)+M(2)+・・・+M(n)}/n^2=0
が成り立つことを示せ．

これ，本当に成り立つかどうか分からないですが，
うまい証明方法があれば教えてください。
313：Je n'ai pas de nom!：2009/10/07(水) 03:36:34: >>312
ε-δつかわずにできるのかなあ。
「一様連続」とか「有界単調列は収束」とかをつかっていいなら…。

f(x)は[0,1]で連続だから,一様連続.
よって
man{M(1)-m(1),…,M(n)-m(n)}<(1/n)
とでき,
0≦[{M(1)-m(1)}+…{M(n)-m(n)}]/n≦(1/n)
よって
lim[{M(1)-m(1),…,M(n)-m(n)}/n]=0……★.

{{M(1)+…M(n)}/n},{{m(1)+…+m(n)}/n}はともに有界単調列ゆえ
収束する.
★より両者は同じ値に収束する.
{m(1)+…m(n)}/n≦{f(1/n)+…+f(n/n)}n≦{M(1)+…+M(n)}/n
より
lim{{M(1)+…M(n)}/n}=lim{{m(1)+…+m(n)}/n}=∫[0→1]f(x) dx
よって
lim{{M(1)+…M(n)}/n^2}=lim{{m(1)+…+m(n)}/n^2}=0.
314：Мечислав(☆12) ◆QRDTxrDxh6：2009/10/07(水) 03:37:09: あ、313は僕。
315：Je n'ai pas de nom!：2009/10/26(月) 23:36:04: lim[n→∞]{m(1)+m(2)+・・・+m(n)}/n
も
lim[n→∞]{M(1)+M(2)+・・・+M(n)}/n
も有限値。
よって自明。
316：Je n'ai pas de nom!：2009/12/05(土) 01:09:18: 次の問題がわからないので教えてください。

凸多角形を底面とする角錐が与えられた時、
角錐をその頂点を中心とする小さい半径の球面Sで切ると、
切り口は球面上の凸多角形となることを示せ。

よろしくお願いします。
317：Je n'ai pas de nom!：2011/05/07(土) 18:11:12: 模範解答の途中に

　sin(60°-x)+sin(120°-x)
=2sin(90°-x)*cos(-30°)

という変形があったのですが、どのようにして導いているのか検討が付きません。
加法定理でぐちゃぐちゃやってみたのですが分からなくなってしまいました。
お願いします。
318：Je n'ai pas de nom!：2011/05/11(水) 20:36:17: 和積
319：Je n'ai pas de nom!：2011/05/23(月) 06:41:43: 次の問題で質問があります．

楕円x^2/9 + y^2/4 = 1 から直線x+2y=7までの最短距離を求めよ．

自分の解答

楕円上に点P(a,b)をとったとき，点Pと直線x+2y=7の距離d(a,b)は，
d(a,b)=|a+2b-7|/√(a^2+b^2)　　　　（ただし，a^2/9 + b^2/4 = 1　…①）
d(a,b)が最小となるときは，線分が点Pにおいての楕円の法線の一部になるとき，
すなわち点Pにおいての接線が直線x+2y=7と平行になるときである．
接線の方程式はax/9 + by/4 = 1 ⇔ y=(-4a/9b)x + 4/b なので，
x+2y=7⇔y=(-x/2)+7/2と傾きをくらべて，4a/9b = 1/2 ⇔ 8a=9b　…② を得る．
①，②を解くと
(a,b)=(9/5,8/5)
mind(a,b)=d(9/5,8/5)=|9/5+16/5-7|/(√(81+64)/25)=2√145/29

となりましたが，①，②を解いたときに(a,b)=(-9/5,8/5)なども出てきます．
でも図で確認してみると，それらは正しくありません．
どのようにしてそれらを不適と示せばよいのでしょうか．
また，自分の解答のプロセスは合っていますか？？少し自信がありません．
320：Je n'ai pas de nom!：2011/05/23(月) 19:06:03: 2chにて、点と直線の距離が違っていることを教えていただきました。
321：Je n'ai pas de nom!：2011/05/23(月) 20:02:36: 結局このようになりました。

楕円上に点P(a,b)をとったとき，点Pと直線x+2y=7の距離d(a,b)は，
d(a,b)=|a+2b-7|/√(1^2+2^2)=√5|a+2b-7|/5　　　　（ただし，a^2/9 + b^2/4 = 1　…①）
d(a,b)が最小となるときは，線分が点Pにおいての楕円の法線の一部になるとき，
すなわち点Pにおいての接線が直線x+2y=7と平行になるときである．
接線の方程式はax/9 + by/4 = 1 ⇔ y=(-4a/9b)x + 4/b なので，
x+2y=7⇔y=(-x/2)+7/2と傾きをくらべて，4a/9b = 1/2 ⇔ 8a=9b　…② を得る．
①，②を解くと，(a,b)=(±9/5,±8/5)
ここで，(-9/5,-8/5)は最大距離の点にあたる．
よって，mind(a,b)=d(9/5,8/5)=√5|9/5++16/5-7|/5=2√5/5