数学について

8：久保共生：2019/10/19(土) 22:03:16: 上の公理1～5は、開集合の性質の説明みたいな感じです。
開集合の定義自体は距離空間においてのものを見るべきです。

一応、距離空間における開集合の定義を書いておくと、

距離空間Xの部分集合Uが開集合であるとは、Uの任意の点に対して、Uからはみ出さない（つまりUの部分集合となる）ε近傍をとることができる

というものです。
ちなみに、ある点xのε近傍とは、xからの距離がε未満の点の集合のことです。（ただし、ε>0です。）

例えば、実数Rの部分集合U={x∈R|0<x<1}は、開集合です。
0<x<1の区間のどんな点をとっても、ε近傍を十分に小さくとれば、0<x<1からはみ出さないですから。
一方例えば、V={x∈R|0≦x≦1}は、開集合ではありません。
0や1のε近傍は、ε>0をどうとっても、0≦x≦1をはみ出してしまいますから。

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