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330：S~（社会人）：2007/03/23(金) 12:18:24 ID:x/EunzlU: 長い間お付き合いくださり有難う御座いました。総集編です。

（試論）　∞　の導入について( 20070224 ～ rev. 20070323 )

先ず、無限大の定義について述べる。
定義：上に有界でない、大小の異なる無限個の元をもつ数の集合　A　に或る元　a　が在って、
　a　を除いた　A　のいずれの元よりも　a　が大なるとき、　a　を無限大とする。

いま、　1∈R　という或る大きさを考える。これを順次大きい正数で等分していって、
その　1　つが十分に小さい或る　0″(≒0∈R)　という大きさになったとき、
その等分分母を　∞'　とする。
すなわち、　xy　座標平面上の関数　y=f(x)=1/x　について　0″=f(∞')=1/∞'　から
∞'=1/0″　である。

ここで、　R″=｛r'|r'=r0″, r∈R｝　を考えたとき、　∞'=r[1]'∈R″　とすると、
∞←1/0″=r[1]*0″→0　（0″→0, r[1]∈R）
これは矛盾である。
したがって、　∞'not∈R″

このとき、 R'=R″+｛∞'｝　を考えて、　r'≧∞'　とすると、
0←r0″≧1/0″→∞　（0″→0）
これは矛盾である。
したがって、　r'＜∞'　であるから、　∞'　は　R'　で最大数となる。

如かして、　R″　は　R　と濃度が等しく、かつ　r'=r0″　は上に有界ではなく、
また、　R'∋∞'＞∀r'∈R'-｛∞'｝　であることから、定義により　∞'　については
　R'　で無限大と言える。

追記：
　R'　を体とすると、　2∞'=∞'+∞'not∈R″　であるから　2∞'=∞'
したがって、　∞'+∞'=∞'　から　∞'+∞'+(-∞')=∞'+(-∞')　で　∞'=0'
これは矛盾である。よって、　R'　は体ではなく順序を表すだけの数の集合である。

また　R″　も、　r[1]'*r[2]'=r[1]0″*r[2]0″=r[1]r[2]*0″*0″=(r[1]r[2])'*0″not∈R″
r[1]'/r[2]'=r[1]0″/r[2]0″=(r[1]/r[2)*(0″/0″)=r[1]/r[2]∈R
などとなり、積と商が　R″　内で処理出来ないから体ではない。。
（終）

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