至急連絡したい事項

672：いぬ：2011/06/12(日) 09:46:07 ID:mR57XOKA0: 任意の元aに対してa+0=0+a=aとなる元0を零元と言う
a+b=b+a=0となる元bのことをaの(和に関する)逆元と言い-aと書く
(-a)+a=a+(-a)=0だから-(-a)=a

任意の元aに対してa*1=1*a=aとなる元1を単位元と言う
0でない任意の元aに対してa*b=b*a=1となる元bのことを積に関する逆元と言い1/aとかく

零元の一意性の証明
a+0=0+a=a, a+0'=0'+a=a
を満たす0と0'があったとすると,
一つ目の式でa=0'とすると, 0+0'=0'
二つ目の式でa=0とすると, 0+0'=0
したがって0=0'

0*a=0の証明
任意の元bはb=b*(1/a)*aと書ける
b+0*a
=b*(1/a)*a+0*a
=(b*(1/a)+0)*a ...結合律
=b*(1/a)*a ...0の定義
=b
同様に0*a+b=b
b+0*a=0*a+b=b
零元の一意性から0*a=0

(-1)*a=-aの証明
(-1)*a+a
=(-1)*a+1*a
=(-1+1)*a
=0*a
=0
同様にa+(-1)*a=0
(-1)*a+a=a+(-1)*a=0
定義から(-1)*a=-a

(-a)*(-b)
=(-1)*a*(-b)
=a*(-1)*(-b)
=a*(-(-b))
=a*b
673：sage：2011/06/12(日) 11:08:10 ID:R.xHxFo60: 後から見て、（>>672）は何？、と思った人へ。
この前々日くらいに、次のような話をしてました。
「マイナスとマイナスを掛けたらなんでプラスになるの？」
674：由生：2011/06/12(日) 11:22:29 ID:ZZdUB/vo0: >>672
それって小学生のときに足し算引き算習うりんごみたいに
簡単にできる(´・ω・｀)？絶対わからんなｗ
675：いぬ：2011/06/12(日) 15:40:20 ID:mR57XOKA0: >>672
途中の結合律でなくて分配律だわ

集合Gに二項演算f:G×G→G:(a,b)→f(a,b)が定義されていて
次を満たすとき, Gは群である.
1.結合律
任意の元a,b,cに対して,
f(a,f(b,c))=f(f(a,b),c)
2.単位元の存在
任意の元aに対して,
f(a,e)=f(e,a)=a
を満たす元eが存在する.
3.逆元の存在
任意の元aに対して,適当な元bが定まり,
f(a,b)=f(b,a)=e

二項演算fを元aとbの積といい, f(a,b)=abと略記する.
単位元eは1とかく

4.可換率
任意の元a,bに対して
f(a,b)=f(b,a)
を満たすとき,Gは可換群である

Gが可換のとき,二項演算fを特に和といい,f(a,b)=a+bと略記することもある
676：いぬ：2011/06/12(日) 15:50:35 ID:mR57XOKA0: >>675
追記
特に和の単位元を0とかき, 零元と呼ぶ.

体
集合Kに和と積が定義されていて,
1a.和に関して結合律を満たす
1b.零元が存在する
1c.任意の元に対し和に関する逆元が存在する

2a.積に関して結合律を満たす
2b.単位元が存在する
2c.零元を除く任意の元に対し積に関する逆元が存在する.

3.分配率
任意の元a,b,cに対して,
a*(b+c)=a*b+a*c
(a+b)*c=a*c+b*c
677：いぬ：2011/06/12(日) 15:55:52 ID:mR57XOKA0: やってることは
(-3)*(-5)
=(-3)*(-5)+0 ... 0の定義
=(-3)*(-5)+0*5 ... 0に何を掛けても0
=(-3)*(-5)+(3-3)*5 ... 負の数の定義
=(-3)*(-5)+3*5+(-3)*5 ... 分配律
=(-3)*(-5+5)+3*5 ... 分配律
=(-3)*0+3*5 ... 負の数の定義
=0+3*5 ... 0に何を掛けても0
=3*5 ... 0の定義

※書き込む際の注意事項はこちら

※画像アップローダーはこちら

（画像を表示できるのは「画像リンクのサムネイル表示」がオンの掲示板に限ります）