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Ｓ科魂！

355：KAITさん：2009/08/24(月) 00:39:33
（２）流体中で自由落下する物体（固体）
　　流体中での物体（固体）の落下運動を考える。このとき、Uを落下速度（流速ではない）とする。物体（固体）は重力、抗力、及び浮力を受けるので運動方程式は次のようになる。

　　m(dU／dt)=mg−ρgV−CDρU2S／2 (2)

ところで、レイノルズ数が非常に小さく、抗力が速度に比例する領域では、粘性の影響が強く、慣性力は粘性力に比べて無視できる。これをストークス近似と呼ぶ。ストークス近似が成り立つとき（Re<1のとき）、抗力係数は次式で表される。

　　CD=K／Re （ストークス近似）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（３）

ここで、Kは物体の形状によって定まる定数である。したがって、もし、Re<1ならば、式（３）を式（２）に代入して両辺をmでわれば、

　dU／dt=(1−ρV／m)g−(KρU2S)／(Re2m) （４）

Re= LU／νより、

　dU／dt=(1−ρV／m)g−(KρνUS)／(2mL) （５）

a=(KρνS)／(2mL), b=(1−ρV／m)gとおけば、

　dU／dt=b−aU=−a(U−b／a) （６）

両辺を(U−b／a)で割りｔで積分すれば、

　∫［1／(U−b／a)］dU／dt・dt=−a∫dt
∫［1／(U−b／a)］dU=−at+C1
log(U−b／a)+C2=−at+C1
log(U−b／a)=−at+C3

ここで、初期条件U|t=0 =0　より、C3=log(−b／a)であるから

log(U−b／a)=−at+ log(−b／a)
log[(U−b／a)／(−b／a)]=−at
(U−b／a)／(−b／a)= e−at
U=b／a−(b／a) e−at
U= b／a(1−e−at)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（７）

となり、速度Ｕが求まる。

（３） 流体中で自由落下する球
　　球を例にとると、球の直径をdとして、レイノルズ数と基準面積はそれぞれ、

　　Re=Ud／ν　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（８）
　　S=πd2／4 　（９）

となる。
　図２において、低レイノルズ数域でCDが直線的に下がっている所（Re<1）では抗力FDは速度Uに比例し、2×103〜2×105でCDがほぼ一定の所では抗力FDは速度の二乗U2に比例している。レイノルズ数が十分に小さく、ストークス近似が成り立つとき（Re<1）、球の抗力係数は式（３）でKが24となり、

　　CD=24／Re 　　（球、ストークス近似）　　　　　　　　　　　 （10）　　

今、図３のように、密度ρの流体中を密度ρsで直径dの固体の球が落下するときの運動を考えると、運動方程式は式（２）のようになる。
　ここで、mは球の質量を表し、m＝ρSπd3／6、Vsは球の体積を表し、V=πd3／6となる。Re<1として、ストークス近似を用いれば式（9）（10）を式（２）に代入して整理すると、
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　dU／dt=[1−(Vs／m)ρ]g−[(24／Re)(S／m)(ρU2／2)]
　　　　　　　①　　　　　　　　　 ②
①→[(πd3／6)／(ρsπd3／6)] ②→[(πd2／4)／(ρsπd3／6)]

dU/dt=（1−ρ／ρs)g−[(24／Re)(3／2ρsd) (ρU2／2)]

Re=Ud／νより、

dU/dt=(1−ρ／ρs)g−[(18ρν)／(ρsd2)]U　　　　　　　　　　　（11）

a=[(18ρν)／(ρsd2)]、b=(1−ρ／ρs)gとおけば、

　　dU／dt=b−aU=−a(U−b／a)　　　　　　　　　　　　　　　　　（6）
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