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『解析概論』輪読
67
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Мечислав(☆10)
◆QRDTxrDxh6
:2005/09/02(金) 03:10:04
z=f(x,y)のグラフにおいて,z=kとしたとき点(x,y)はk=f(x,y)を満たす図形の上にあるが,
この図形を,z=f(x,y)のz=kに対する等位線という.
例z=ax+by+cの各z=kに対する等位線たちは平行線である.
例z=√(r^2-x^2-y^2)の各z=kに対する等位線たちは原点を中心とする同心円である.
例z=xyの各z=kに対する等位線たちは等辺双曲線xy=kである.
例z=2xy/(x^2+y^2)については,k=2xy/(x^2+y^2)とおくと
k^2+((x^2-y^2)/(x^2+y^2))^2=1だからz=2xy/(x^2+y^2)とすれば,|z|≦1.
0≦θ≦πなるθに対してsin2θ=2xy/(x^2+y^2)とすると
sin2θ=2xy/(x^2+y^2)
⇔2cosθsinθ/(cos^2θ+sin^2θ)=2xy/(x^2+y^2)
⇔x^2cosθsinθ+y^2cosθsinθ=xycos^2θ+xysin^2θ
⇔(cosθsinθ)x^2-(ycos^2θ+ysin^2θ)x+y^2cosθsinθ=0
⇔xcosθ(xsinθ-ycosθ)-ysinθ(xsinθ-ycosθ)=0
⇔(xcosθ-ysinθ)(xsinθ-ycosθ)=0
であるので各z=sin2θに対する等位線は
2直線xcosθ-ysinθ=0とxsinθ-ycosθ=0から原点(0,0)を除いたもの.
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