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『解析概論』輪読

51：Мечислав(☆10) ◆QRDTxrDxh6：2005/08/31(水) 02:47:16
証明
{a_n}が同じ項を無数には持たず,lim[n→∞]a_n=aであるとする.
このときaのいくらでも近くに,ある番号以上のa_nがすべて入るのでaはSの集積点である.
いまbもSの集積点であるとすると,任意の正の数εに対して自然数Nがあって,
Nより大きな自然数nに対して|a_n-a|<ε/2であり,無数のmに対して|a_m-b|<ε/2である.
|a_m-b|<ε/2が成り立つNより大きなmは無数にあるが,これらのmに対して
|a-b|=|a-a_m+a_m-b|≦|a-a_m|+|a_m-b|<ε.εは任意であるのでa=bとなる.
{a_n}が有界でありaがSの唯一の集積点であるとする.
{a_n}が有界であるのでlimsup[n→∞]a_nとliminf[n→∞]a_nがともに有限であるが,
この2つの数はともにSの集積点であるので,
a=limsup[n→∞]a_n=liminf[n→∞]a_n.よってlim[n→∞]a_n=a.
{a_n}が有界であるとし,limsup[n→∞]a_nより大きなSの集積点aがあるとすると,
limsup[n→∞]a_n<b<aを満たす任意のbに対して,
b<a_n<aなる無数の自然数nがあることになる.
これは{a_n}がaに収束する部分列を持つことになり,
limsup[n→∞]a_n<aに反する.
即ちlimsup[n→∞]a_nはSの最大の集積点である.
{a_n}が有界であるとし,liminf[n→∞]a_nより小さなSの集積点aがあるとすると,
liminf[n→∞]a_n>b>aを満たす任意のbに対して,
b>a_n>aなる無数の自然数nがあることになる.
これは{a_n}がaに収束する部分列を持つことになり,
liminf[n→∞]a_n>aに反する.即ちliminf[n→∞]a_nはSの最小の集積点である.■
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