『解析概論』輪読

48：Мечислав(☆10) ◆QRDTxrDxh6：2005/08/31(水) 02:45:34: 7.　集積点
点の集合Sが有界であるとは,正の数Mが存在して,
Sに属するすべての点の各座標の絶対値がMを超えないことである.
点Aが集合Sに関する集積点であるとは,Aにどんなに近いところにも
Sの点が無数に存在することである.
AがSに関する集積点であってもA∈Sであるとは限らない.
任意の正の数εに対して0<ε/2<εでε/2∈(0,1)だから
0は(0,1)に関する集積点であるが￢(0∈(0,1)).

例
S={(x,y);x∈Q,y∈Q}とすると,すべての点(a,b)はSに関する集積点である.

証明
aが有理数なら,lim[n→∞](a+(1/n))=aでa+(1/n)∈Q.
aが無理数なら,aを十進表記したとき,小数点以下第n+1桁以下を切り捨ててできる
有理数をa_nとすれば,a_n∈Qで,lim[n→∞]a_n=a.
ゆえにaが有理数無理数の別にかかわらずaのいくらでも近くに無数の有理数がある.
bについても同様.よって点(a,b)のいくらでも近くに無数のSの点がある.■

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