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『解析概論』輪読

42：Мечислав(☆10) ◆QRDTxrDxh6：2005/08/27(土) 02:41:38
例　a_n={(-1)^n*n+1}/nのときlimsup[n→∞]a_n=1,liminf[n→∞]a_n=-1.

証明　A_n={a_k;k∈N,k≧n}とし,A_nの上限,下限をそれぞれl_n,m_nとする.
nが奇数のときは a_n=(1/n)-1,
nが偶数のときは a_n=(1/n)+1.
よってnが奇数のときは
A_n={-1+(1/k);k∈N,k≧n}∪{1+(1/k);k∈N,k≧n+1}よりl_n=1+(1/(n+1)),m_n=-1.
nが偶数のときは
A_n={-1+(1/k);k∈N,k≧n+1}∪{1+(1/k);k∈N,k≧n}より
l_n=1+(1/n),m_n=-1.よってlimsup[n→∞]a_n=1,liminf[n→∞]a_n=-1.■
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