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『解析概論』輪読

41：Мечислав(☆10) ◆QRDTxrDxh6：2005/08/27(土) 02:40:57
同様に{a_n}が下に有界で上に有界でないときは,
{a_k;k∈N,k≧n}の下限をm_nとし,{m_n}が上に有界のときは,
liminf[n→∞]a_n=lim[n→∞]m_n,有界でないときはliminf[n→∞]a_n=+∞であると定義する.
±∞を許せば,どんな数列も上極限,下極限を持つ.
上に有界でない数列{a_n}の上極限,下極限がともに+∞であるとすると,
任意の正の数Mに対して,ある番号以上のnで{a_k;k∈N,k≧n}の下限はMより大きい.
よってある番号以上のnでM<a_nとなりlim[n→∞]a_n=∞となる.
逆にlim[n→∞]a_n=∞となる数列{a_n}は上に有界ではなく,下に有界である.
下にも有界でないなら-100より小さいa_nが無数にあるが,
これはlim[n→∞]a_n=∞に反するからである.
{a_k;k∈N,k≧n}の下限をm_nとおく.
lim[n→∞]a_n=∞なので任意の正の数Mに対してある番号n_0以上のnでM<a_n.
よってM≦m_n.
{m_n}は増加列だからliminf[n→∞]a_n=lim[n→∞]m_n=∞となる.
同様の議論で{a_n}がlim[n→∞]a_n=-∞となることと,
liminf[n→∞]a_n=limsup[n→∞]a_n=-∞となることは同値である.
以上より,任意の数列{a_n}は±∞を許せば上極限,下極限を持つが,
両者が一致するとき,またそのときに限りlim[n→∞]a_nは存在し,三者は一致する.
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