『解析概論』輪読

40：Мечислав(☆10) ◆QRDTxrDxh6：2005/08/27(土) 02:40:23: 不等号を逆向きにすれば,これらはすべて下極限の性質になる.
有界でない数列に対しても上極限,下極限を定義する.
上に有界でない数列{a_n}に対しては,{a_k;k∈N,k≧n}はいかなるnに対しても
上に有界でない.即ち上限がない.このときはlimsup[n→∞]a_n=+∞と定義する.
下に有界でない数列{a_n}に対しては{a_k;k∈N,k≧n}はいかなるnに対しても
下に有界でない.このときはliminf[n→∞]a_n=-∞と定義する.
上に有界であり,下に有界でない数列{a_n}については{a_k;k∈N,k≧n}は上に有界であるから,
この集合の上限l_nは存在して,l_n≧l_(n+1)がすべての自然数nに対して成り立つ.
l_n<l_(n+1)なるnがあるならl_n<a_p≦l_(n+1)なるn+1以上の自然数pが存在してしまうが,
p≧nであるからl_n≧a_pとなるはずなので不合理だからである.
数列{l_n}は下に有界にも非有界にもなりうるが,
有界のときはlimsup[n→∞]a_n=lim[n→∞]l_n,
非有界のときはlimsup[n→∞]a_n=-∞と定義する.

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