『解析概論』輪読

39：Мечислав(☆10) ◆QRDTxrDxh6：2005/08/27(土) 02:39:36: 有界数列における上極限について,もう少し詳しく見てみよう.
以下有界数列を{a_n},{a_k;k∈N,k≧n}の上限をl_n,
limsup[n→∞]a_n=lim[n→∞]l_n=λとおく.
任意の正の数εに対して,ある番号以上のnに対してλ≦l_n<λ+εであるので,
ある番号以上のnにたいしてa_n<λ+εが成り立つ.
またλ-ε<l_nがすべてのnで成り立つので,
各nに対し,λ-ε<a_{p_n}≦l_nなるn以上の番号p_nがとれる.
以上より上極限は次のような性質を持っている.

(I)　任意の正の数εに対して,
(1°)　有限個のnをのぞいてa_n<λ+ε.
(2°)　無数のnでλ-ε<a_n.
言い換えれば,
(II)　λのどんなに近くにも無数のa_nがあるが,λ<λ'なるいかなるλ'についても,
　　　それはいえない.
あるいは(II)の無数のa_nのみを考えれば,
(III)　λに収束する部分列はとれるが,λ<λ'なるいかなるλ'についても
　　　　λ'に収束する部分列はない.

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