『解析概論』輪読

30：Мечислав(☆9) ◆QRDTxrDxh6：2005/08/22(月) 23:08:46: 例４.
lim[n→∞]a_n=αであるならば,lim[n→∞]{(a_1+…+a_n)/n}=α.

証明
b_n=a_n-αとおくと定理5(2)より
lim[n→∞]b_n=0.
{(a_1+…+a_n)/n}={(b_1+…+b_n)/n}+αより
lim[n→∞]{(b_1+…+b_n)/n}=0を示せばよい.
いまlim[n→∞]a_n=αであるから任意の正の数εに対して,
n_0以上の自然数nなら|a_n-α|=|b_n|<ε/2となる自然数n_0がとれる.
{|b_1|,…,|b_(n_0-1)|}の最大数をMとおくと,n_0以上の自然数nで
|{(b_1+…+b_n)/n}|≦{|b_1|+…+|b_(n_0-1)|+(n-n_0)(ε/2)}/n
<{(n_0-1)M+(n-n_0)(ε/2)}/n<(n_0M/n)+(ε/2).
よって
n>2n_0M/εとなる自然数nで|{b_1+…+b_n/ n}|<ε.■

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