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『解析概論』輪読

19：RSKTTM：2005/07/31(日) 13:44:18
証明

(1)(2)の証明

仮定より
(∀ε>0)((∃n_0∈N)(n>n_0⇒|a_n-α|<ε)),
(∀ε>0)((∃n_0∈N)(n>n_0⇒|a_n-α|<ε)).
つまりいかなるε>0が与えられてもうまくn_1, n_2∈Nをとれば
n>max{n_1, n_2}のとき|a_n-α|<εかつ|a_n-α|<ε.
よってn>max{}n_1, n_2}のとき|(a_n±b_n)-(α±β)|=|(a_n-α)±(b_n-β)|≦|a_n-α|+|b_n-β|<ε+ε=2ε.
以上より成り立つ。

3)の証明

定理4. などにより|a_n|<Mかつ|β|<MなるMが存在する（当然M>0）。
するとある番号より先では
|(a_n)(b_n)-αβ|=|(a_n-α)β+a_n(b_n-β)|<M(|a_n-α|+|b_n-β|)<M(ε+ε)=2Mε.
よって成り立つ。
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