『解析概論』輪読

160：Мечислав(☆11) ◆QRDTxrDxh6：2006/01/02(月) 11:02:25: (3) 有界なる数列{a_n},{b_n}に対して
limsup[n→∞](a_n+b_n)<limsup[n→∞]a_n+limsup[n→∞]b_n,
liminf[n→∞](a_n+b_n)>liminf[n→∞]a_n+liminf[n→∞]b_n.
また,差,積,商だとどうなるか.

(4) xが正の無理数ならf(x)=0,
x=p/qが負でない有理数(p/qは既約分数で,q>0)ならば,f(x)=1/qとする.
このx>0で定義された関数f(x)の連続性を論ぜよ.

(5) f(x)とg(x)は[a,b]で連続,S⊂[a,b]⊂[S]でS上ではf(x)=g(x)であるとする.
このとき[a,b]でf(x)=g(x).

(6)　S⊂[a,b]⊂[S]とする.f(x)がSで定義されており,Sで連続であるとする.
f(x)が[a,b]上の連続関数に拡張できるための必要十分条件は
f(x)のSでの連続性が一様性を持つことである.

(7)　f(x)は(a,∞)で連続でlim[x→∞](f(x+1)-f(x))=lならば
lim[x→∞](f(x)/x)=l.

(8) f(X)を領域Kで定義された連続関数とし,XがKの点のときf(X)が領域Gに属するとする.
g(x)をGで定義された連続関数とすると,g(f(X))はKで定義された連続関数となる.

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