『解析概論』輪読

16：RSKTTM：2005/07/31(日) 13:40:08: 定理3.の証明

{a_n}はαに収束するとする。つまり
(∀ε>0)((∃n_0∈N)(n>n_0⇒|a_n-α|<ε)).
さて自然数値を取る狭義単調増加数列{n(k)}を用いてできる{a_n}の部分数列{a_n(k)}について考える。
n(k)は高々第n_0+1項目でn_0より大きくなり、その後もずっとn_0より大きい。すなわち
k>n_0⇒n(k)>n_0.
よって{a_n(k)}は
(∀ε>0)((∃n_0∈N)(k>n_0⇒|a_n(k)-α|<ε))
を満たしているから、αに収束する。

さて本文には「数列の各項a_nが絶対値において一定の数を超えないとき、その数列は有界であるという」

と書かれていますが、ここでは今まで出てきた有界の定義を採用することにします（単に僕の好みです）。

これらの定義は同値です。
a_nが（すでに出てきた定義により）有界ならば全ての自然数nに対しN≦a_n≦MとなるN, Mが存在しますが

このとき-max{|N|, |M|}≦a_n≦max{|N|, |M|}が成り立ちますから、a_nは「絶対値において一定の数(max{|N|, |M|})を超えない」ことになります。
逆は自明です。a_n≦|M|⇔-M≦a_n≦Mだからです。
収束する数列は有界で、極限値もその限界を出ません。

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