『解析概論』輪読

159：Мечислав(☆11) ◆QRDTxrDxh6：2006/01/02(月) 11:02:00: 練習問題(1)
(1)　a_1>b_1>0;a_n=(a_(n-1)+b_(n-1))/2,b_n=√(a_(n-1)b_(n-1))とすれば,
数列{a_n},{b_n}は同一の極限値に収束する.
この極限値をa_1,b_1の算術幾何平均という.(Gauss)

(2) a>0,b>0,a_1=(a+b)/2,b_1=√(a_1b),
一般にa_n=(a_(n-1)+b_(n-1))/2,b_n=√(a_nb_(n-1))とすれば,
l=lim[n→∞]a_n=lim[n→∞]b_nが存在する.

[1°]　|a|<bのとき,a=b*cos x,-π<x<πとおけば l=b((sin x)/x).

直径1の円に内接,外接する辺数nの正多角形の周の長さをp(n),P(n)とし,
a=1/P(k),b=1/p(k)とすればl=1/π

[2°]　a>b>0のとき,a=b*cosh xとおけばl=b((sinh x)/x).
ただしcosh x=(e^x+e^(-x)/2),sinh x=(e^x-e^(-x)/2).

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