『解析概論』輪読

137：Мечислав(☆11) ◆QRDTxrDxh6：2005/10/31(月) 13:18:59: 二次元において閉区間[a,b]を定義域とする連続函数x=φ(t),y=ψ(t)を考える.
このとき点P(x,y)の軌跡を(φ(a),ψ(a))を始点,(φ(b),ψ(b))を終点とする
連続曲線の定義としたいのだが,これを連続曲線の定義にしてしまうと,
異なるtとsに対してφ(t)=φ(s),ψ(t)=ψ(s)となる重複点の存在を許すことになり,
さらにこの重複点を何回も,無数に通過することをも許すことになり,
重複点自体の無数の存在をも許すことになってしまう.
そうすると作りようによっては,全円板や全正方形を塗りつぶしてしまうような
「曲線」もあるかもしれない.
これを避けるためには重複点の存在を許さないというのが一つの手である.
重複点の存在を許さない曲線をJordan曲線,
さらに(a,b)においては重複点は存在しないが,
始点と終点のみで一致する曲線をJordan閉曲線という.
Jordan曲線は線分[a,b]と一対一かつ連続に対応する点の集合であり,
Jordan閉曲線はいわば円周と一対一かつ連続的に対応する点の集合である.
円周が平面を内外二領域に分割し,それら二領域の境界をなしているように,
Jordan閉曲線も平面を内外二領域に分割し,それら二領域の境界をなす.
うーむ.証明には多大な準備がいりそうなので(中村八束教授(信州大)の
「完全証明」は別にしても)今日のところは勘弁.
解析概論で扱うJordan閉曲線はさらにいろんな制限を付け加えたりする予定である.
三次元以上では境界はさらに厄介であるが,球や立方体を適当に活用すれば,
相当なことが出来るようです.

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