『解析概論』輪読

134：Мечислав(☆11) ◆QRDTxrDxh6：2005/10/31(月) 13:17:24: 上の証明によれば,この定理はA,Bが閉集合でなくても成り立つことが分かる.
A,Bが閉集合であればP_0,Q_0がそれぞれA,Bの点となるに過ぎない.
このときP_0とQ_0は同じ点ではないのでρ(A,B)>0.
A,Bのどちらかが閉集合でなければρ(A,B)>0であるとは限らない.
例えばEを有界な集合としてB=A'ならρ(E∩A,E∩B)=0.

領域･閉域
　空でない開集合が連結しているとは,
その開集合が共通部分を持たない2つの空でない開集合に分割されないことをいう.
連結している開集合を領域という.領域の閉包を閉域という.

領域内に任意に1点Pをとり,その点から領域内の別のある点Qへは
いかなる領域内のみを通る折れ線を辿っても到達できないとするなら,
領域はPを含む開集合とQを含む開集合という共通部分を持たない
2つの空でない開集合に分割される.
したがって領域内の任意の2点を領域内のみを通って連結する折れ線が存在する.

空でない閉集合が連結しているとは,
その閉集合が共通部分を持たない2つの空でない閉集合に分割されないことをいう.
連結されている閉集合が2点以上をもつとき,その閉集合を連続体という.

点Pを含む領域を点Pの近傍という.近傍の径は議論の必要に応じて小さくとる.

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