『解析概論』輪読

107：Мечислав(☆11) ◆QRDTxrDxh6：2005/10/11(火) 01:07:29: 増加であることは次のように示される.
各項の値がが0と1のどちらかであるような数列全体の集合を{0,1}^Nとおくと,
0<x<1を満たすxに対して{0,1}^Nの元{x_n}が対応して,
x=��_{n=1}^∞{x_n/2^n}と書け,f(x)=��_{n=1}^∞{x_n/10^n}.
2の冪が分母である有理数は有限二進数で書くという注意によって,
ある自然数mがあってn≧mならx_n=1ということはあり得ない.
よってxに対する{x_n}の定まり方は一意的である.
したがって{x_n}はxの"函数"とみなせるので
φ(x)={x_n},x_n=φ(x)_nと書くことができる.
いまx<yであるとすると��_{n=1}^∞{φ(x)_n/2^n}<��_{n=1}^∞{φ(y)_n/2^n}である.
もし,すべての自然数nでφ(y)_n-φ(x)_n=0であるとすると
��_{n=1}^∞{φ(x)_n/2^n}=��_{n=1}^∞{φ(y)_n/2^n}となってしまうので,
φ(y)_n-φ(x)_n≠0となる自然数nが存在する.
自然数の整列性によりm∈{n∈N;φ(y)_n-φ(x)_n≠0}は存在するが,
m∈{n∈N;φ(y)_n-φ(x)_n≠0}=Nとおくと,
φ(x)の定義よりφ(y)_N-φ(x)_N=1または-1.
φ(y)_N-φ(x)_N=-1とすると,N以上のすべてのnに対してφ(x)_n=1ということはありえないので
��_{n=1}^∞{φ(x)_n/2^n}>��_{n=1}^∞{φ(y)_n/2^n}となってしまう.
したがってφ(y)_N-φ(x)_N=1.ゆえに1≦n<Nでφ(x)_n=φ(y)_n,φ(x)_N=0,φ(y)_N=1.
以上より��_{n=1}^∞{φ(x)_n/10^n}<��_{n=1}^∞{φ(y)_n/10^n}即ちf(x)<f(y).■

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