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東大の授業で奮闘するスレ

26：臺地 </b><font color=#FF0000>（qpPuO9q2）</font><b>：2005/04/30(土) 17:26:13
清書

εを任意の正数とする。
数列(a_n)は収束するので有界であるから、∃M∈R s.t.M>0；∀n∈N；|a_n|<M。
lim_[n→∞]a_n=aより、∃n_1∈N；∀n∈N；n≧n_1⇒|a_n-a|<ε/(2|b|)。
lim_[n→∞]b_n=bより、∃n_2∈N；∀n∈N；n≧n_2⇒|b_n-b|<ε/(2M)。
ここで、三角不等式より、n≧n_1∧n≧n_2なる自然数nに対して、
|a_nb_n-ab|=|a_nb_n-a_nb+a_nb-ab|≦|a_n||b_n-b|+|b||a_n-a|<M*ε/(2M)+|b|ε/(2|b|)=ε。
よって、n_0=max{n_1,n_2}とおけば、
∀ε∈R s.t.ε>0；∃n_0∈N；∀n∈N；n≧n_0⇒|a_nb_n-ab|<ε
これはlim_[n→∞]a_nb_n=abを意味する。□
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