東大の授業で奮闘するスレ

25：臺地 </b><font color=#FF0000>（qpPuO9q2）</font><b>：2005/04/30(土) 17:10:48: lim_[n→∞]a_n=a、lim_[n→∞]b_n=b(どちらも有限確定)のとき、lim_[n→∞](a_nb_n)=abを示せ。

下書き

仮定・・・|a_n-a|<α；n≧n_1∧|b_n-b|<β；n≧n_2
結論・・・|a_nb_n-ab|<ε；n≧n_0

|a_nb_n-ab|をとにかくnに無関係な定数で上から抑えたいので、ひたすら三角不等式をつかって
絶対値の中身をぶったぎり、|a_n-a|や|b_n-b|を登場させる。
|a_n|とかが単独で出てしまうなら、「収束すれば有界」の定理を使っておさえる。
a_n*bをたして引くと、(積の微分法を示すのとおんなじ)
|a_nb_n-ab|=|a_nb_n-a_nb+a_nb-ab|≦|a_n||b_n-b|+|b||a_n-a|<|a_n|β+|b|α

|a_n|が単独で出てしまったので、「収束⇒有界」を使う：|a_n|<M
すると最右辺<Mβ+|b|αでnに無関係な定数で押さえられた。あとはこれがεになるように
α、βを調整する：ε=Mβ+|b|α。
二項の和で表されるので、半分ずつ分けるのが簡単：Mβ=ε/2、|b|α=ε/2
これでα=ε/(2|b|)、β=ε/(2M)と決定できた。
あとはn_0の調整だが、n_1とn_2の両方より大きければいいから、max{n_1,n_2}でおｋ。

天下り式に清書して答案完成！

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