「集合・位相入門」輪読会★2

265：臺地 ◆6rqpPuO9q2：2006/03/02(木) 02:17:22: p122
第3章　順序集合、Zornの補題
§4　順序数
D）　順序数と濃度

・順序数μの濃度
ordA=ordA'=μなる整列集合A、A'の間には順序同型写像がありますが、これは全単射なのでA～A'(対等)
したがってcardA=cardA'です。つまり、μを順序数に持つような整列集合Aの濃度cardAは一意に定まるので、
ordAをcardAに対応させる写像p(ドイツ文字)を考えることが出来ます。p(μ)(=cardA)を「順序数μの濃度」といいます。

(4.8)μ<ν⇒p(μ)≦p(ν)
∵ordA=μ、ordB=νとなる整列集合A,Bを取る。μ<νなら、AとB<b>が順序同型になるようなb∈Bが存在する。
　AからB<b>への順序同型写像をf1、f1の終集合をBに拡大した写像をf2とすると、f2：A→Bは単射。∴p(μ)≦p(ν)
　ちなみに等号が省けるとは限らない：ω<ω+1だがp(ω)=p(ω+1)=アレフ0
(4.8)'p(μ)<p(ν)⇒μ<ν
∵(4.8)の対偶より、p(μ)<p(ν)⇒μ≦ν。p(μ)<p(ν)かつμ=νはありえないから、p(μ)<p(ν)⇒μ<ν。

(4.9)p(μ+ν)=p(μ)+p(ν)
∵A,Bは上のように取るとして、p(μ+ν)=card(A∪B)=cardA+cardB=p(μ)+p(ν)

(4.10)p(μν)=p(μ)p(ν)
∵p(μν)=card(A×B)=cardA*cardB=p(μ)p(ν)

※書き込む際の注意事項はこちら

※画像アップローダーはこちら

（画像を表示できるのは「画像リンクのサムネイル表示」がオンの掲示板に限ります）

掲示板管理者へ連絡無料レンタル掲示板