「集合・位相入門」輪読会★2

238：あしぺた：2006/02/15(水) 14:03:39: 証明
B⊂Aを任意にとる。

b∈Bに対し、Λ_b^(1) := {α∈Λ|b_α≠e_α}とし、
m_1 := min{max Λ_b|b∈B}と定義する。
そして次のようにして、点列(m_n)の帰納的定義を行う。
B^(n+1) := {bのm_nでの値をe_(m_n)に変えたもの| b∈B^(n), max Λ_b = m_n} とし、
Bに対するΛ_b^(1), m_1 の定義とまったく同じに、B^(n)に対してΛ_b(n+1), m_(n+1) と定義する。
ただし途中でΛ_b^(n)が空集合となった場合、m_n以降は定義しない。

このとき、{m_1,m_2,...}はΛの部分集合だから最小元をもつ。
しかも(m_n)は狭義単調減少列だから、結局、{m_1,m_2,...}は有限集合。
k点集合だとする。

このとき、Λ_b^(1) = {m_1,m_2,..,m_k}　なるBの元がある。
Bの最小元があるとすればこれらのなかにある（なぜか？）。

ところで、Λ_b^(1)の元のうち、m_nでとる値が最小なものが存在する（n∈N）。
n=1でそうした元がただ一つ存在するならば、それが最小元。
nまででそうした元が複数存在したとしても、n+1でそうした元がただ一つ存在するならそれが最小元。
したがってBの最小元が存在する。■

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