「集合・位相入門」輪読会★2

159：たま ◆U4RT2HgTis：2005/06/03(金) 01:27:13: また、順序数の和と積について次の'左分配律'が成り立ちます。
　(4.7)　ρ(μ+ν) = ρμ+ρν
【証明】
　ordA=μ,ordB=ν,ordC=ρ,A∩B=φとする。
　このとき、C×(A∪B)から(C×A)∪(C×B)への順序同型写像が存在することを示せばよい。
　分かりやすいようにC×(A∪B)における順序を≦_1,(C×A)∪(C×B)における順序を≦_2とする。
　f:C×(A∪B)→(C×A)∪(C×B)をf(c,x)=(c,x)で定めると
　このように定めたfは順序同型写像になる。
　実際、全射は明らか。
　(c,x)(≦_1)(c',x')とすると
　(x＜x')∨(x=x'∧c≦c')
　x∈A,x'∈Bのときは(c,x)∈(C×A)、(c',x')∈(C×B)となるので、
　f(c,x)(≦_2)f(c',x')
　x,x'∈Aまたはx,x'∈Bのときは、明らかに(c,x)(≦_2)(c',x')
　逆に、f(c,x)(≦_2)f(c',x')⇔(c,x)(≦_2)(c',x')とする。
　(c,x)∈(C×A)、(c',x')∈(C×B)のときは
　x∈A,x'∈Bとなるのでx＜x'
　従って、(c,x)(≦_1)(c',x')
　また(c,x),(c',x')∈(C×A)または(c,x),(c',x')∈(C×B)のときは
　(c,x)(≦_2)(c',x')より明らかに(c,x)(≦_1)(c',x') //
　
注意：'右分配律'(μ+ν)ρ=μρ+νρは一般には成り立ちません。
例えば、ω=2ω=(1+1)ω≠1ω+1ω=ω+ω=ω2

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