「集合・位相入門」輪読会★2

158：たま ◆U4RT2HgTis：2005/06/03(金) 01:26:49: (4.6)において"μν≦μ'ν"の等号を省くことは一般にはできません。
例えば、1ω=2ωとなります。

また、一般に交換律μν=νμは成り立ちません。
例えば、ω2≠2ωとなります。
【証明】
　定義よりord(N×2)=ω2,ord(2×N)=2ω
　f:2×N→(N×2)<(1,2)>を次のように定める。
　f(1,n)=(2n-1,1),f(2,n)=(2n,1)
　このように定めたfは2×Nから(N×2)<(1,2)>への順序同型写像になる。
　実際、(N×2)<(1,2)>=N×{1}であることよりfは明らかに全射。
　また、i,i'∈{1,2}として
　(i,n)≦(i',n')⇔(n＜n')∨(n=n'∧i≦i')
　n＜n'ならば2n-1＜2n＜2n'-1＜2n'より、iの値に関わらずf(i,n)≦f(i,n')
　n=n'∧i≦i'ならばf(1,n)＜f(2,n)より明らかにf(i,n)≦f(i,n')
　逆に、f(i,n)≦f(i',n')とすると、f(i,n)=(2n-2+i,1)なので
　(2n-2+i,1)≦(2n'-2+i',1)
　∴2n-2+i≦2n'-2+i'
　∴2(n'-n)+(i'-i)≧0
　-1≦i-i'≦1なので
　n'≧nでなければならない。
　n'＞nのときiの値に関わらず、2(n'-n)+(i'-i)≧0が成り立つ。
　n=n'のときi'-i≧0となりi≦i'となる。
　従って、(i,n)≦(i',n')
　これで、fが順序同型写像となることがわかった。
　故にω2＞2ω //

※書き込む際の注意事項はこちら

※画像アップローダーはこちら

（画像を表示できるのは「画像リンクのサムネイル表示」がオンの掲示板に限ります）

掲示板管理者へ連絡無料レンタル掲示板