「集合・位相入門」輪読会★2

157：たま ◆U4RT2HgTis：2005/06/03(金) 01:26:00: (4.6)
　見通しがよくなるよう一つ補題を用意します
【補題】
　A,BをordA=μ、ordB=νなる整列集合とする。
　このとき、AからBへの順序単射が存在するならばμ≦νである。
【証明】
　AからBへの順序単射が存在する、かつ、μ＞νとして背理法を用いる。
　(注：μ＜νと仮定できるのは、順序数全体の集合が全順序であることによる)
　仮定より∃f:A→B、fは順序単射
　μ＞νより∃a_0;A<a_0>～B
　故に∃g:B→A<a_0>、gは順序同型写像
　gの終集合をAに拡大した写像をg~とする
　このとき、g~(B)=A<a_0>であり、g~は順序単射である。
　g~f:A→Aを考えるとg~fは順序単射になる。
　実際、a≦a'⇔f(a)≦f(a')　(∵fが順序単射)
　　　　　　⇔g~(f(a))≦g~(f(a'))　(∵g~が順序単射)
　　　　　　⇔g~f(a)≦g~f(a')
　ところが、g~(B)=A<a_0>とf(A)⊂Bより
　g~(f(A))⊂g~(B)=A<a_0>
　http://jbbs.livedoor.jp/bbs/read.cgi/study/4125/1078049875/489より
　g~(f(A))=g~f(A)なので、g~f(A)⊂A<a_0>
　従って、g~f(a_0)∈A<a_0>={a∈A|a＜a_0}
　故にg~f(a_0)＜a_0
　然るに、これはhttp://jbbs.livedoor.jp/bbs/read.cgi/study/4125/1078049875/915
　の補題2に反する。
　従って、AからBへの順序単射が存在するならばμ≦νである。 //
これを踏まえて、(4.6)を証明します。
ordA=μ,ordA'=μ',ordB=νとします。
このときhttp://jbbs.livedoor.jp/bbs/read.cgi/study/4125/1110808043/115より
A'～S_μ'なのでA⊂A'となるようにAを取れます。
補題より、A×BからA'×Bへの順序単射が存在することが言えれば(4.8)がいえたことになります。
fを恒等写像I_(A×B)の終集合をA'×Bに拡大した写像だとするとfは明らかに順序単射になるので、
μν≦μ'νとなる。 //

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