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「集合・位相入門」輪読会★2

155：たま ◆U4RT2HgTis：2005/06/03(金) 01:25:15
順序数の積については以下のことが成り立ちます。
　(4.4)　(μν)ρ=μ(νρ)
　(4.5)　ν＜ν',0＜μ　⇒　μν＜μν'
　(4.6)　μ＜μ',0＜ν　⇒　μν≦μ'ν

【証明】
(4.4)
　ordA=μ,ordB=ν,ordC=ρとする。
　f:(A×B)×C→A×(B×C)をf((a,b),c)=(a,(b,c))で定めると
　fは順序同型写像になる。
　全射は明らか。
　(A×B)×Cにおける順序を≦_1,A×(B×C)における順序を≦_2とすると
　((a,b),c)(≦_1)((a',b'),c')⇔(c＜c')∨(c=c'∧(a,b)≦(a',b'))
　　　　　　　　　　　　　　⇔(c＜c')∨(c=c'∧((b＜b')∨(b=b'∧a≦a')))
　　　　　　　　　　　　　　⇔(c＜c')∨((c=c'∧b＜b')∨(c=c'∧(b=b'∧a≦a'))
　(a,(b,c))(≦_2)(a',(b',c'))⇔((b,c)＜(b',c'))∨((b,c)=(b',c')∧a≦a')
　　　　　　　　　　　　　　⇔((c＜c')∨(c=c'∧b＜b'))∨((b=b'∧c=c')∧a≦a')
　　　　　　　　　　　　　　⇔(c＜c')∨((c=c'∧b＜b')∨((b=b'∧c=c')∧a≦a')
　　　　　　　　　　　　　　⇔(c＜c')∨((c=c'∧b＜b')∨(c=c'∧(b=b'∧a≦a'))
　従って((a,b),c)(≦_1)((a',b'),c')⇔(a,(b,c))(≦_2)(a',(b',c'))⇔f((a,b),c)(≦_2)f((a',b'),c')
　故に、fは順序同型写像になる。
　よって、(μν)ρ=μ(νρ)が成り立つ。
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