「集合・位相入門」輪読会★2

154：たま ◆U4RT2HgTis：2005/06/03(金) 01:24:32: これで、上に定義した順序≦に関してがUが整列集合になることがわかりました。
実は、このUの順序数はμνとなるのです。
このことは、次のようにして示されます。
　AをordA=μとなる１つの整列集合とすると、∀λ∈Λ；ordA_λ=μなのでA～A_λ
　故に、∀λ∈Λ；∃f_λ:A→A_λ　s.t.　f_λは順序同型写像
　ここで、A×ΛからUへの写像fを次のように定めます。
　(a,λ)∈A×Λに対して
　　f(a,λ) = f_λ(a)
　このように定めたfは明らかにA×ΛからUへの順序同型写像になります。
　実際、x∈Uとすれば、∃λ∈Λ；x∈A_λ
　f_λはAからA_λへの全射なので、∃λ∈Λ；∃a∈A；f_λ(a)=x
　すなわち、∃(a,λ)∈A×Λ；f(a,λ)=x
　従って、fは全射。
　次に、fが順序単射になっていることを示します。
　(a,λ),(a',λ')∈A×Λに対して、(a,λ)≦(a',λ')であるとすると
　(λ＜λ')∨(λ=λ'∧a≦a')
　もしλ＜λ'ならf(a,λ)=f_λ(a)∈A_λ、f(a',λ')=f_λ'(a')∈A_λ'よりf(a,λ)＜f(a',λ')
　また、もし(λ=λ'∧a≦a')なら、f(a,λ)=f_λ(a)∈A_λ,f(a',λ')=f(a',λ)=f_λ(a')∈A_λ
　f_λが順序同型写像であることよりf(a,λ)(≦_λ)f(a',λ')
　f(a,λ)∈A_λ,f(a',λ')∈A_λより≦と≦_λと一致するので、f(a,λ)≦f(a',λ')
　逆に、f(a,λ)≦f(a',λ')とすると、f(a,λ)=f_λ(a)∈A_λ、f(a',λ')=f_λ'(a')∈A_λ'であるので
　λ＜λ'またはλ=λ'∧f_λ(a)≦f_λ'(a')
　故に、λ＜λ'またはλ=λ'∧f_λ(a)(≦_λ)f_λ(a')
　もしλ＜λ'なら(a,λ)＜(a',λ')
　また、もしλ=λ'∧f_λ(a)(≦_λ)f_λ(a')ならf_λが順序同型写像であることより
　λ=λ'∧a≦a'となり、(a,λ)≦(a',λ')となる。
　従って、fは順序単射。
　以上よりfはA×ΛからUへの順序同型写像でとなる。
　故に、A×Λ～UすなわちordU=μνとなる。 //
上に述べたことは、順序数μ、νの積μνは"μをν回加えたもの"であるということを意味します。
ただ、μνは"μをν回加えたもの"であるが、"νをμ回加えたもの"ではないことに注意しなければ
なりません。実際、μ2=μ+μですが、2μは一般にμ+μと等しくありません。

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