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「集合・位相入門」輪読会★2

152：たま ◆U4RT2HgTis：2005/06/03(金) 01:23:18
順序数の積はまた、次のように捉えることも出来ます。

いま、(A_λ)_(λ∈Λ)を次のような集合族であるとします。
　(1)添数集合Λは順序数νの整列集合
　(2)∀λ∈Λについて、A_λは順序数μの順序集合
　(3)λ,λ'∈Λ,λ≠λ'⇒A_λ∩A_λ'=φ
このとき、和集合∪[λ∈Λ]A_λ（=Uとおく）に次のような順序≦を導入します。
　(1)∃λ∈Λ；a,a'∈A_λのときはUの順序はA_λ内の順序≦_λと一致
　(2)a∈A_λ,a'∈A_λ'でλ≠λ'のときはλ＜λ'⇒a＜a'、λ'＜λ⇒a'＜a
このように定義した順序≦は確かにU内の順序と成ります。
実際、
　反射律
　　a∈Uとすると、∃λ∈Λ；a∈A_λであり、a(≦_λ)aなので、(1)よりa≦a' //
　反対称律
　　a,a'∈Uとし、a≦a'∧a'≦aとする。
　　もし、a∈A_λ,a'∈A_λ'かつλ≠λ'とすると、
　　a≦a'より、λ＜λ',a'≦aよりλ'＜λが成り立つ。
　　すなわち、(λ≦λ')∧(λ'≦λ)∧(λ≠λ')
　　従って、Λにおける順序の反対称律より(λ'=λ)∧(λ≠λ')となり矛盾。
　　故に、∃λ∈Λ；a,a'∈A_λである。
　　このとき、a(≦_λ)a'∧a'(≦_λ)aとなり、≦_λの反対称律よりa=
　推移率
　　a∈A_λ,a'∈A_λ',a''∈A_λ''とし、a≦a',a'≦a''とする。
　　λ＜λ'またはλ'＜λ''が成り立てばΛ内の推移律よりλ＜λ''が成り立ち、a＜a''となる。
　　またもし、λ=λ'=λ''であるとすると、a(≦_λ)a',a'(≦λ)a''となり、
　　≦_λの推移律よりa(≦_λ)a''
　　故に、a≦a''となる。
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