「集合・位相入門」輪読会★2

151：たま ◆U4RT2HgTis：2005/06/03(金) 01:22:16: (注2)
ordA=ordA'、ordB=ordB'であったとすると、
AからA'への順序同型写像fとBからB'への順序同型写像gが存在する。
そこで、A×BからA'×B'への写像hを次のように定める。
(a,b)∈A×Bに対し、
　h((a,b))=(f(a),g(b))
このように、定めたhはA×BからA'×B'への順序同型写像となる。
実際、(x',y')∈A'×B'とすればf,gが全射より
∃x∈A,∃y∈B　s.t.　f(x)=x',g(y)=y'
故にh((x,y))=(f(x),g(y))=(x',y')となりhは全射。
また、(a_1,b_1),(a_2,b_2)∈A×Bに対し、
(a_1,b_1)≦(a_2,b_2)⇔(b_1＜b_2)∨(b_1=b_2∧a_1≦a_2)
　　　　　　　　　　⇔(g(b_1)＜g(b_2))∨(g(b_1)=g(b_2)∧f(a_1)≦f(a_2))　(∵f,g順序同型)
　　　　　　　　　　⇔(f(a_1),g(b_1))≦(f(a_2),g(b_2))
　　　　　　　　　　⇔h((a_1,b_1))≦h((a_2,b_2))
よって、hは順序単射。
従って、hは順序同型写像となりord(A×B)=ord(A'×B') //

(注3)
A={1,2,･･･,n},B={1,2,･･･,m}とすると、
A×B={(i,j)|i,j∈N,1≦i≦n,1≦j≦m}となり、
A×Bの元の個数はmn個となるので、A×Bの順序数はmnとなります。

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