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「集合・位相入門」輪読会★2

150：たま ◆U4RT2HgTis：2005/06/03(金) 01:21:48
(注1)
反射律
　Aにおける順序の反射律より、a≦aが成り立つ。
　また、b=bなので、
　(a,b)≦(a,b)が成り立つ。 //
反対称律
　(a,b)≦(a'b)かつ(a',b')≦(a,b)とすると、定義より
　b≦b'かつb'≦b
　故に、Bにおける順序の反対称律より、b=b'
　従って、b＜b'、b'＜bは成り立たないので、
　b=b'∧a≦a'とb'=b∧a'≦aが成り立つ。
　故に、Aにおける順序の反対称律よりa=a'
　従って、(a,b)=(a',b') //
推移律
　(a,b)≦(a'b)かつ(a',b')≦(a",b")とすると、定義より
　b≦b'、b'≦b"――(*)
　Bにおける順序の推移律より、b≦b"
　もし、b≦b"なら直ちに(a,b)≦(a",b")が成り立つ。
　b=b"ならばBにおける順序の反射律より
　b≦b"、b"≦b
　これと(*)から、Bにおける順序の推移律を用いて
　b"≦b'、b'≦bがわかり、
　これと(*)から、Bにおける順序の反対称律を用いて
　b=b'=b"がわかる
　故に、a≦a'とa'≦a"が成り立つこととなり、
　Aにおける順序の推移律よりa≦a"
　従って、b=b"∧a≦a"が成り立つので(a,b)≦(a",b")となる。 //
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