「集合・位相入門」輪読会★2

149：たま ◆U4RT2HgTis：2005/06/03(金) 01:21:00: さらに、(A×B,≦)が整列集合になることを示します。
　MをA×Bの空でない任意の部分集合とすると、
　A×BからBへの射影pr_BによるMの像
　　B'=pr_B(M)={b|∃a∈A((a,b)∈M)}
　はBの空でない部分集合になります。
　（射影ってなによ？って思ったあなたは今すぐ
　　http://jbbs.livedoor.jp/bbs/read.cgi/study/4125/1078049875/565
　　を参照しましょう。）
　Bは整列集合なのでB'には最小元b_0が存在します。
　次に、
　　A'={a|(a,b_0)∈M}
　を考えると、A'はAの空でない部分集合になるので、
　最小限a_0が存在します。
　このようにa_0,b_0を定めると(a_0,b_0)はMの最小元となります。
　実際、(a,b)∈Mとすると、b∈B'よりb_0≦b
　b_0＜bならば直ちに(a_0,b_0)≦(a,b)であり、
　b_0=bならばa∈A'となるので、a_0≦a
　従って、(a_0,b_0)≦(a,b)となる。 //
これで、(A×B,≦)が整列集合になることがわかったので、めでたく
順序数ord(A×B)をμνと定めることができます。
注意しておくとこの定義も、A、Bの取り方によりません。――(注2)
そして特にμ、νが有限順序数の場合は、この積は自然数(または0)の間の
通常の積と一致します。――(注3)
また、A×φ=φ,φ×A=φよりμ0=0μ=0が成り立ち
A×{1}～A，{1}×A～A(～は順序同型)よりμ1=1μ=μが成り立ちます。
（実際、A×{1}からAへの射影pr_Aは明らかに順序同型写像となります。）

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