「集合・位相入門」輪読会★2

138：Мечислав(☆9) ◆QRDTxrDxh6：2005/05/22(日) 04:35:59: なお(4.3)においては等号を省くわけには参りません.
1＜2ですが1+ω=2+ωです.
実際{★}の上にNを並べて作った整列集合から,{☆,♪}の上にNを並べて作った整列集合への
写像fをf(★)=☆,f(1)=♪,2以上の自然数nに対してf(n)=n-1と定めれば,
fは順序同型写像になります.

μが順序数だとします.このときμ+1なる順序数を構成することは,
ordA=μなる集合Aの上に{★}を並べてA∪{★}なる整列集合を作ることによって,
μによらず可能ですが,μ＜ν＜μ+1なる順序数νは存在しません.
実際,A∪{★}の最大元は★ですのでxをA∪{★}の任意の元であるとすると
x≦★,よってord((A∪{★})<x>)≦ord((A∪{★})<★>)=ordA=μ.
即ちA∪{★}のいかなる切片の順序数もμ以下になります.
即ちν＜μ+1ならばν≦μとなるわけです.
「いかなる順序数も直後の順序数はもつ」ということですね.
逆,というか直前の順序数を持たない順序数ってのはありますね.
極限数は皆そうです.

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