「集合・位相入門」輪読会★2

133：Мечислав(☆9) ◆QRDTxrDxh6：2005/05/22(日) 04:34:15: この定義が妥当な定義であるためには,AとBのとり方によらず,
AとBの順序数のみによってμ+νが決まることがいえなければなりません.
そこでAと順序同型なA",Bと順序同型なB"をとりましょう.必要なら特定の一元集合
との直積集合を考えることによりA∩B=Φとできます.
このとき
ordA+ordB=ordA"+ordB"
であることがいえればよいのです.
Aの上にBを並べて整列集合A∪Bをつくり,
A"の上にB"を並べて整列集合A"∪B"をつくります.
f_AをAからA"への,f_BをBからB"への順序同型写像とし,
fをA∪BからA"∪B"への写像f|A=f_A,f|B=f_Bとなる写像として定義します.
即ちx∈Aならf(x)=f_A(x),x∈Bならf(x)=f_B(x)と定義するわけです.
このfがA∪BからA"∪B"への順序同型写像となっているわけです.
実際,(x,y)∈(A∪B)×(A∪B)で,x≦yなら
(x,y)∈A×Aでも(x,y)∈A×Bでも(x,y)∈B×Bでも
f(x)≦f(y)となるのでfは順序写像,
f|A'もf|B'も全射だからfも全射.
よってf(x)≦f(y)なら(f(x),f(y))はA"×A"かA"×B"かB"×B"のどれかの元.
どれの元であってもx≦yとなるのでfは順序単射.したがってfは順序同型写像となります.

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