俺に数学を教えてください

419：green：2006/11/15(水) 05:07:42: なんでそう思ったかというと、京大の過去問題集に以下のような解答が書いてあったからです。
「ｆ(x)　はｘの３次式で、ｆ(x)　をその導関数ｆ'(x) で割ったときの余りは定数である。
このとき方程式　ｆ(x) ＝ 0　をみたす実数　ｘ　はただ一つであることを示せ。」
[1989年度京大理系前期日程の３番]
背理法によって示す。
ｆ(x)　をｆ'(x) で割ったときの商をｇ（ｘ）、余りをR（定数）とすると
ｆ(x)＝ｆ'(x) ｇ（ｘ）　+　R　…………ア
ここで、ｆ'(x) ＝0　が異なる二つの実数解α、β（α＜β）をもつとすると、
ｆ（ｘ）は、ｘ＝α、ｘ＝β　で極値をもち、（極小値）＜（極大値）　である。
ところがアより、
ｆ(α)＝ｆ'(α) ｇ（α）　+　R　＝　R
ｆ(β)＝ｆ'(β) ｇ（β）　+　R　＝　R
すなわち、ｆ(α)＝ｆ(β)　となり、矛盾。
よって、ｆ'(x) ＝0　は重解または虚数解をもつ。
したがって、つねにｆ'(x) ≧0　または　ｆ'(x) ≦0　（等号が成り立つｘの値は高々1個）である。
これより、ｆ(x) は単調に増加または減少する。また、
（x^3の係数）＜0の時、lim_[x→∞]f(x)＝－∞　、lim_[x→-∞]f(x)＝∞
（x^3の係数）＞0の時、lim_[x→∞]f(x)＝　∞　、lim_[x→-∞]f(x)＝－∞
であり、f(x)　は連続関数であるから、中間値の定理より、ｆ(x) ＝ 0　をみたす実数　ｘ　はただ一つ存在する。（証終）

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