東工大生で問題を出し合おう。 - 1021780727

1：名無しさん：2002/05/19(日) 12:58: 優等生ぞろいの東工大ですが皆頭は固そうな感じがします。
頭を柔らかくするような問題を出し合いましょう。
262：名無しさん：2002/10/29(火) 01:40: 25C5かな？
263：名無しさん：2002/10/29(火) 02:10: >>261-262で正解。じゃあコレも瞬殺かな。

【問題】
相加平均・相乗平均の関係を用いたパラドクスです。
ちなみに以下では、xの2乗＝x^2と記します。

▽x,y＞0について、x＋4y＝5‥‥(1)　のとき、x^2＋4y^2　の最小値を求める。
　　x^2＋4y^2≧2√(x^2＊4y^2)　　(∵相加平均・相乗平均の関係)
　　　　　　　＝4xy
　これが最小値であり、一行目の等号が成り立つ条件は
　　x^2＝4y^2　　∴x＝2y‥‥(2)
　(1)(2)を連立して解くと、(x,y)＝(5/3,5/6)
　このとき、x^2＋4y^2 は最小値 50/9 を取る。

▼反例‥‥x＝y＝1 は(1)を満たし、このときx^2＋4y^2 は 5(＜50/9) を取る。

▽と▼の間に横たわる矛盾を指摘してください。
264：名無しさん：2002/10/29(火) 02:39: 馬鹿丸出しでした。「矛盾を指摘」じゃなくて、
「何故、矛盾が起こったか」を指摘して下さい。
265：名無しさん：2002/10/29(火) 10:28: ＞x^2＋4y^2≧2√(x^2＊4y^2)　　(∵相加平均・相乗平均の関係)
＞　　　　　　　＝4xy
＞　これが最小値であり…

ここが間違い。
仮にxyが定数だったら4xyはx^2＋4y^2の最小値になるが、
xyが変数の場合は等号成立が最小値であるとは限らない。

こんなんでどうでしょ？
266：名無しさん：2002/10/29(火) 11:06: 正解。ヤパーリ早いですね、みんな。
では次。これでしばらく品切れ。
【問題】
円の面積公式が「円周角が0に収束する扇形≒三角形」で求められる事は有名です。
これと同様の方法で、球の表面積公式を求めたいと思います。

まず、半径ｒの球を、地球儀と見立てて下さい。
赤道に沿って、真っ二つに切ります。
複数の経度線に沿って、オレンジの皮の様な形に切ります。
この経度単位を0に収束させれば、高さがπｒ/2（＝円周の1/4倍）の
三角形が、底辺4πｒ（＝円周の2倍）分だけ作られる事になるので、
　球の表面積＝（πｒ/2）×（4πｒ）×1/2＝π^2×ｒ^2
となります…が、これは、球の表面積公式＝4π×ｒ^2 と異なります。何故でしょう。
267：名無しさん：2002/10/29(火) 11:38: >>266
丸まってるから三角形じゃない。
268：名無しさん：2002/10/29(火) 14:25: >>267
それなら、どう計算したら4π×ｒ^2になるんですかねぇ。
269：名無しさん：2002/10/29(火) 17:01: >>268
普通に積分するのはこの場合邪道？
270：名無しさん：2002/10/29(火) 21:42: >>267 何が丸まっているの？
271：名無しさん：2002/11/01(金) 18:43: 出題･･････というわけではないのだが
いわゆる｢数当てクイズ｣をできるだけ早い段階で解答するアルゴリズムってないもんかね？
ルールはまあ、こんなの：
１.出題者は０～９(１～９の場合もあり)の数字からn個取る順列を｢答え｣として１個用意する。
(n=4くらいがよく遊ばれている)
２.回答者はこの答えを当てる。回答者の回答に対して出題者は
｢数字と桁の両方が一致しているものの数｣
｢数字は答えの順列に出ているが桁は合っていないものの数｣
を次のヒントとして与える。

分かりにくくてスマソ。要は｢ボルトアンペア｣｢コードブレーカー｣って呼ばれているような遊びです
272：名無しさん：2002/11/13(水) 13:22: age
273：名無しさん：2002/11/13(水) 16:55: >>271
どっか落ちてるとおもわれ。
274：名無しさん：2002/11/17(日) 02:46: 問題：
払い戻しが常に2倍の、単純なギャンブルを連続して行なう。
ここで、必ず勝ち逃げできる、以下のような戦略を考える。
「1回目に任意の金額を掛ける。
　→n回目に勝てば、そこで終了。
　　　〃　負ければ、n回目の掛け金の2倍をn+1回目の掛け金として、続ける」
しかしこの戦略には、致命的な穴がある。"出来るだけ数学的に"説明せよ。
275：名無しさん：2002/11/17(日) 03:08: >>274
持ち金が有限なのに掛け金は指数関数的に上がっていくから、じゃだめ？
276：名無しさん：2002/11/17(日) 03:17: >>274
払い戻しは常に２倍だが、当たらないギャンブルだった。とか。
計算すると、１回目にかけた任意の金額分しか儲からないけど、
必ず勝ち逃げできそうな気はするんだけど。
277：名無しさん：2002/11/17(日) 03:26: >>273
nをgivenとする。
すると、2回目からn回目の掛け金は計算できない。
よってn回目に勝っても勝ち逃げできるとはいえない。
さらにn回目に負けた場合も同様で、
さらにその場合にはギャンブルの終了条件が示されていない。
278：名無しさん：2002/11/17(日) 15:31: （n+1回目に勝った時にもらえる金額）-（n回目までの損失）
＝初めに賭けた額

つまり儲けは０
279：名無しさん：2002/11/17(日) 16:29: >>278
初めに賭けた額に、n回目までの損失が含まれているような気がするんだけど。

100円持ってる。
10円かけた->負けた。
20円かけた->負けた。
40円かけた->勝って80円貰った。
100-10-20-40+80=110。
つまり10円の儲け。
280：279：2002/11/17(日) 16:30: もとい、n回目までの損失に、初めに賭けた額が含まれてる、ですね。
281：名無しさん：2002/11/17(日) 22:42: 倍プッシュは愚か者のやることだよ。
282：名無しさん：2002/11/21(木) 10:57: 医者とその息子がドライブに出かけたところ交通事故に遭い、
その医者は死亡し、その息子は意識不明の重症で病院に運び込まれた。
その病院でその重症の息子を見た担当医は、
「自分の息子なので、冷静にこの子を治療することなんて出来ない」
と言いました。
状況を説明しなさい。
283：名無しさん：2002/11/21(木) 11:16: 出かけた親子は養子縁組の関係だったから、
本当の親はたまたま重症の息子をみた担当医だった、、、、とか？
284：名無しさん：2002/11/21(木) 11:29: 父親と母親
285：名無しさん：2002/11/21(木) 12:37: >>282
医者＝男　という先入観を用いた問題ですね。
286：名無しさん：2002/11/21(木) 13:31: おまえら真面目に授業出すぎだよ、　俺が浮きまくるだろうがよ
287：名無しさん：2002/11/21(木) 21:30: でてねーよ
288：２８２：2002/11/22(金) 01:14: >285
正解
289：274：2002/11/22(金) 01:18: >>274の簡素な解答。
「n回目に勝つとした場合、1～n回目で必要となる掛け金の総和の期待値が∞になる」
よって、>>275と>>281が正解に近いかも（笑

ちなみに、"出来るだけ数学的に"とか偉そうなコト書きましたが、ギャンブルの
勝つ確率が示されていませんでした。１／２です。お詫びいたします。
290：名無しさん：2002/12/18(水) 16:06: age
291：名無しさん：2002/12/19(木) 12:57: 問題：
A,B,Cの3人で、以下のようなGameを行なう。

1) ジョーカーを抜いた52枚のトランプを用意する。
2) 1)の中から、Aが5枚を選び、Bに渡す。(Cに見えない様に)
3) 2)の中から、Bが4枚を選び、Cに渡す。
4) Cは、Bが手元に残した1枚を推理して、
　当てることが出来たら、Aから賞金をもらう。

ここで、B,Cがグルだとすると、Aから必ず賞金をもらうためには、
あらかじめ、どのような談合をしておけば良いだろうか。
ただし、トランプの受け渡しは全て裏にして行なわれるものとする。
292：名無しさん：2002/12/19(木) 13:46: >>291
BがCに渡す4枚は、順序が保存されているのですか？
293：名無しさん：2002/12/19(木) 13:50: >>291
CがBから受け取った4枚を表にして見ることができないという条件なら、
各トランプを渡す向きの縦横の2通りの情報（4枚）と、
隣り合った二枚のどっちを上にして重ねるか（3箇所）の情報だけでも
（２ｘ２ｘ２ｘ２）ｘ（２ｘ２ｘ２）＝１２８パターン
の情報を伝えることができるので、
そのへん適当に符号きめておけばいいんじゃないでしょうか。
294：293：2002/12/19(木) 13:59: >>291
B,Cはグル（尊師）なので、相手の手が読めます。
って解答でも充分納得がいくけどね。
295：名無しさん：2002/12/19(木) 14:00: >>293
そこまで明快なトリックに気付かないAは
ケツ毛までムシられても当然かもしれない。
296：293：2002/12/19(木) 14:09: たとえトランプを一枚ずつ渡すにしても、
タイムラグとかの情報つかって情報伝達することだってできるでしょ。
ていうか条件もっと設定しないことには無数に手段あるような気がするよ。
297：名無しさん：2002/12/19(木) 19:07: >>291
C「どれを残したの？」
B「～の～です。」
会話は禁止されていないぞ。
298：291：2002/12/19(木) 23:26: この手の問題を簡潔な文章で書くのは難しいですね…色々補足ですみません。

>>292
順序は保存されます。
>>293
1枚ずつ縦に渡して下さい。
>>294
尊師に出来るのは空中浮遊（静止画）のみとします。
>>295
是非ムシってやって下さい。
>>296
上記の通り、順序情報だけで頑張って下さい。
>>297
上記の通り、Game中の会話やジェスチャ等の情報伝達は禁止とします。
299：名無しさん：2002/12/20(金) 01:16: 52-4=48で48通り表現できればいいわけだが,
実際は絵柄だけでは4x3x2=24通りしか表現できない.
トランプって全ての数字に上下の概念ってあったかな？
あれば4x3x2x2^4=384通り表現できるので余裕だが.
300：291：2002/12/20(金) 02:04: >>299
上下の概念は無いと考えて下さい。
確かに絵柄だけで表現できるのは4!=24通りです。
301：293：2002/12/20(金) 03:49: >>291
なんだ、Ｃはもらったカードを表にして見れるのね。
んじゃ、絵柄（っていうか数字）で４！＝２４通り表現できるわけで、
あとはＢが手元に残しとくカードをたとえば
「Ａからもらった５枚のうち一番小さいカードを手元に残す」
とか取り決めとけばいいんじゃないの。
302：293：2002/12/20(金) 03:54: B,Cはグル（尊師）なので、空中浮遊の高度で情報を伝達できます
って解答でも充分納得がいくけどね。
303：名無しさん：2002/12/21(土) 15:42: >>291
Aは５枚選ぶから同種のカード(ハートとか)が必ず２枚はある
Bは同種のカードが２枚以上あるものを手元に残し、一枚を一番最初に
Cに渡す。これでカードの種類をCに伝える事ができる。
次に数字を知らせるためにまず
1,2,3～11,12,13→1,2,3～
のように13の次は1であると考える
そう考えるとBが手元に残したカードとCに最初に渡したカードとの｢距離｣は
必ず６以下になる。例えば2と11ならば11,12,13,1,2となり｢距離｣は４になる
よってCに最初に11を渡し(2ではない)、残りの３枚で１～６の数字を表現する事が
できるからそれで｢距離｣の４を表わすとCはカードをあてる事ができる。

ああ～うまく説明できない。読み取って下さい。。。
304：303：2002/12/21(土) 16:19: ↑が駄目駄目なので例を一つ

Aが選んだのがハートの４、７、クローバの１２、スペードの１、１２だとする
Bが手元に残すのはハートかスペード
ハートの場合は４を残し７を最初にCに渡して残りの３枚で３を表わす。
スペードの場合は１２を残し１を最初にCに渡して残りの３枚で２を表わす。
305：名無しさん：2002/12/21(土) 16:20: >>300
それで＋６か－６かわかる？
306：305：2002/12/21(土) 16:21: >>303のﾏﾁｶﾞｲ
307：305：2002/12/21(土) 16:25: 同種カードの数の小さいほうを渡すとか決めておけばいいのか。
自己解決
308：名無しさん：2002/12/21(土) 16:33: >>307
って、それじゃだめっぽ
309：303：2002/12/21(土) 16:40: あ～303と304の説明が食い違ってしまった。。。

×　４を残し７を渡す、１２を残し１を渡す
○　７を残し４を渡す、１を残し１２を渡す
310：名無しさん：2002/12/21(土) 16:43: >>309
だからその場合４渡されて距離３だとわかったほうは
手元にあるのが１なのか７なのか判別つく？
311：303：2002/12/21(土) 16:46: >>310
常にプラスなので７です
312：名無しさん：2002/12/21(土) 16:50: それでいいな、うん。
313：303：2002/12/21(土) 16:51: どうもｗ
314：291：2002/12/22(日) 10:21: >>301
5枚がAの意思に委ねられるので、その方法では不可能です。
>>303
正解です！
4!=24は、一見52-4=48に関係ありそうですが、行き止まりなんですよね。
最初の1枚を捨てる勇気と、mod 13 で 3!=6 の争いに持ち込む知恵が勝利を招きます。
315：名無しさん：2002/12/22(日) 17:43: >>314
301は303と同じこと言ってるのだと思われ
316：名無しさん：2002/12/22(日) 22:03: >>315
いや、違うだろ。
例えば、Bから渡された4枚が、48枚の内の最大から4枚だったら、Cはどう判別する？
317：名無しさん：2002/12/22(日) 23:42: >>316
Ｂが手元に残したカードは、
Ｃが受け取った最小のカードより小さい側(ただし距離２４以内)ってことがわかる（できる）よね。
ようは距離を２４以内にするか６以内にするかだけの問題だと思うんだけど。
318：名無しさん：2002/12/23(月) 00:46: >>317
いや、だから>>316の例のように
「Cが受け取った最小のカードより小さい側」が24以内に収まらない事があるんだってば。
319：名無しさん：2003/01/06(月) 12:39: age
320：名無しさん：2003/01/07(火) 01:01: 某所のコピペ↓

あるところに大発明家がいました。
彼はＹｅｓかＮｏで答えられる質問なら
どんなことにも答えてしまうロボットを設計しました。
しかし、彼は貧しかったので設計図をA社とB社に売り、それぞれに作ってもらうことにしました。

A社はYesなら青いランプ、Noなら赤いランプが点くようにして作りました。
B社はYesなら赤いランプ、Noなら青いランプが点くようにして作りました。
それぞれのロボットは見た目はまったく同じで、区別が付きません。

あなたは中古でこのYes・Noロボットを買うことにしました。
店に行ってみると、現在3台の在庫があるようです。
店員の話によると、3台のうち1台は壊れていて、まったくでたらめな答えを返してきます。
（正解するかもしれないし、間違えるかもしれない）
そして、その3台ともA社のものかB社のものかはわかりません。
店員は意地悪で、たった1回だけ、それも1台に対して
何か質問をしてよいといいました。

あなたは何とかして壊れていないロボットを買わなければいけません
どんな質問をすればいいでしょう？
321：名無しさん：2003/01/07(火) 04:09: 「君以外の二台のうち、壊れているほうのロボットは
答えがYesとなる質問に対して、いつも青いランプで答えるよね？」

正常なＡ社のロボットならNo,つまり赤いランプ
正常なＢ社のロボットならNo,こっちは青いランプ
で、壊れたロボットに対しては「自分以外の二台」の中に
「壊れているロボット」がいないので、
「YesかNoで答えられる質問」にならない。
よってなにも答えない。
322：321：2003/01/07(火) 04:12: 「答えられない疑問には無反応」っていう条件が必要ではあるけどさ。
323：321：2003/01/07(火) 04:19: ていうかどんな質問をしようが、
本当に壊れていないロボットを買いたいだけなら
三台のうち二台以上買ってしまえばいいんだけど。
324：名無しさん：2003/01/07(火) 06:08: http://milkcafe.net/puzzle/
ここにいろいろありそうだな
325：名無しさん：2003/01/08(水) 00:24: カバの兄弟がけんかしたときに食べるお菓子はな～んだ？

これがマジでわかんなくてちょっと気持ち悪い。
326：名無しさん：2003/01/08(水) 01:45: >>325
かばやきさん太郎、が答えだったような。でも理由は失念。
327：名無しさん：2003/01/17(金) 16:39: age
328：名無しさん：2003/01/18(土) 01:04: ルージュの伝言
329：名無しさん：2003/01/21(火) 09:06: 男性二人、女性二人の計四人が乱交パーティーをすることになりました。もちろん男性はコンドームをつけて性病等を予防します。それぞれ異性間で交わる（同性とは交わらない）とすると、コンドームは最低いくつ必要でしょうか。ただしコンドームは感染等の問題がない使い方をするものとします。
330：名無しさん：2003/01/21(火) 16:00: ３枚だったかな。
女をA子　B子として
男をC夫　D夫とすると、
最大で必要な枚数は４．

まず、C夫が二枚重ねてA子とやる。
で、その外側をD夫にくれてやってA子とやる。
ひとつめおわり。
（外側はA子のみ、内側はD夫のみが使ったことになる）

C夫は次に、１枚になったコンドームでB子とやる。
二枚目おしまい。
（内側には前回のブツがのこってるけどきにしない）

最後にD夫は新しく一枚をつけてB子とやる。

合計三枚？

２枚にはならなそうなんだが。
331：名無しさん：2003/01/21(火) 19:10: ２つを重ねてＡ－Ｃ

重ねていたのを外して内側でＡ－Ｄ、外側でＢ－Ｃ

Ａ－ＤのをＢ－Ｄのに重ねてＢ－Ｄ

なら２枚じゃない？
332：330：2003/01/21(火) 21:00: あ、そうだ、最後にもう一回重ねるんだ！
それで正解だと思う。
すげーなー。

でもまあ、実際問題、こんな使いかたしたら、
知らない間に外れてるという悲劇が起こるな。
333：名無しさん：2003/01/21(火) 23:26: 箱の裏ちゃんと読めよ。
一回出したら捨てるように。
334：名無しさん：2003/01/21(火) 23:36: 単独では強いけど、重ねて使うと破れ易い材質で
出来てるって聞いたんだけど、ほんとかな？
335：名無しさん：2003/01/21(火) 23:42: 某本に書いてあったけど
男６人と女６人だと、最低７枚（６枚でなく）必要らしい
336：出題者：2003/01/22(水) 00:45: コンドーム問題の出題者です。一応答えは２枚です。耐久性については勘弁して下さい。
六人ではどうなんでしょ？
337：名無しさん：2003/01/22(水) 00:58: >>336
ちゅうか，n枚での一般化を誰かにしてほしいね．
338：337：2003/01/22(水) 01:15: もとい、n人ですね
339：名無しさん：2003/01/22(水) 09:48: それって、すげえむずかしそうだな。
だれか定式化してくださいよ。
俺の頭は卒論でパンクなんで、使い物になりません。
340：名無しさん：2003/01/22(水) 10:45: 3人×3人なら、4枚で出来るけど…
341：名無しさん：2003/01/22(水) 11:43: >>334
そんな事はないらしい。
http://www.aims.nu/condom/mame_links.html#kasane
話それるが↑のサイト、かなりおすすめ。
342：名無しさん：2003/01/22(水) 11:47: >>341
普通そのサイトを見れば，
>>>334
>そのようだね．
となると思うんだけど...
343：341：2003/01/22(水) 11:48: 「そんな事はない」じゃなくて「その通り」だったすまそ
344：名無しさん：2003/01/22(水) 11:53: 拡張するのもいいが、
あまり実用的ではないようだな
345：名無しさん：2003/01/24(金) 00:35: 定規とコンパスを用いて、正五角形を作図しなさい。（ただし大きさは任意）

有名問題かな？
受験問題のネタになってもいい問題なのでスレ違いかも。
でもキレイに描けるとちょっとウレシイ。
346：名無しさん：2003/01/24(金) 02:00: 正17角形も定規とコンパスで描けるはず。
やったことないけど。
347：名無しさん：2003/01/24(金) 03:24: 「コンパスと定規のみで作図できる正p角形（p:素数）のpは
フェルマー素数であり、それに限る。」
フェルマー素数:（２の、２のｎ乗乗）+1（n=0,1,2,3,...)
つまり、３、５、１７、２５７、６５５３７...

って聞いたことがあります。数学科の人いませんか？
348：347：2003/01/24(金) 03:51: 追伸
n=5のときの値は
4294967297=641*6700417
なので素数ではないそうです。
349：名無しさん：2003/01/25(土) 00:24: >>347
正三角形6つで正六角形にならないか？
350：名無しさん：2003/01/25(土) 01:14: コンパスと定規のみで作図できる正p角形（p:素数）
正p角形（p:素数）
正p角形（p:素数）
正p角形（p:素数）
正p角形（p:素数）
正p角形（p:素数）
351：数学科じゃないけど：2003/01/26(日) 11:19: >>347
http://www.nn.iij4u.or.jp/~hsat/misc/math/drawing/heptadecagon.html
らしいよ。
352：名無しさん：2003/02/06(木) 14:00: age
353：名無しさん：2003/02/27(木) 14:17: 良問ぷりーず
354：名無しさん：2003/02/27(木) 14:38: 「円周率πが、3.05よりも大きいことを証明せよ。」
今年の東大の入試問題らしい。
355：名無しさん：2003/02/27(木) 15:07: 正12角形か正24角形あたりの周の長さか面積だして
それより円周もしくは円の面積が大きいこと示せば楽勝っぽいね。
で、半角の公式とか出てくるんでしょ、どーせ。
東大に入りなおそうかな。
356：名無しさん：2003/02/27(木) 18:02: そうだね>>355
正12角形の周長を出したら、あとは無理数の評価になるので、99年の
∫(0～π)exp(x)(sin(x))^2dx＞8を示す問
の類題だと思う。

さて問題。
π＝3.05とし、正n角形の周長が、それに外接する円の周長より大きくなるようなnの最小値を求めよ。
357：名無しさん：2003/02/28(金) 19:29: どーよ？

http://www.yomiuri.co.jp/nyushi/honshi/03/tk1.htm
358：名無しさん：2003/02/28(金) 19:58: >>357
簡単すぎ。
359：名無しさん：2003/02/28(金) 20:42: 東工だねぇ・・・
360：名無しさん：2003/03/05(水) 16:50: 頭が退化したかも・・・
361：名無しさん：2003/03/17(月) 18:04: 2,3,3,4を一回ずつ(順序問わず)と、四則演算＆カッコを自由に用いて、10を作って下さい。