金融工学　初歩の初歩

1：帝王学の基本は闘争本能：2004/05/16(日) 17:56: １．計量分析

１．１　時間価値

・将来価値（ＦＶ）＝ＰＶ（１＋ｒ）＾ｎ
・現在価値（ＰＶ）＝ＦＶ／（１＋ｒ）＾ｎ
・年金の将来価値（ＦＶＯＡ）＝ＰＭＴ［（１＋ｒ）＾ｎ－１］／ｒ
　※ＰＭＴ：定額年金
・年金の現在価値（ＰＶＯＡ）＝（ＰＭＴ／ｒ）［１－（１＋ｒ）＾（－ｎ）］
　※ＰＶＰＥＲ＝ＰＭＴ／ｒ
　※ＰＶＰＥＲ：永久年金のＰＶ
・ＦＶ＝ＰＶ・ｅ＾ｒｎ
　※ｅ：自然対数の底
　※上式は、連続複利計算によるＦＶの算出式
・ＰＶ＝ＦＶ・ｅ＾（-rn）

［追加］
・永久年金のＰＶは定額年金を金利（ここではあらかじめ与えられていると仮定する）ｒで除算したものに等しいから、
　ＰＶＰＥＲ＝ＰＭＴ／ｒ
・これをｎ年後の将来価値に置き換えると
　（ＰＭＴ／ｒ）・（１＋ｒ）＾ｎ　・・・（Ａ）
・これに対し、ｎ年経過時点におけるＰＭＴの現在価値は、（ｎ＋１年後以降も金利ｒは不変と仮定しているので）
　（ＰＭＴ／ｒ）　　　　　　　　　・・・（Ｂ）
　となり、当初求めた現在価値と変化しない。
・したがって、ｎ年間にわたりＰＭＴを受け取る場合の将来価値は
　（ＰＭＴ／ｒ）・｛（１＋ｒ）^n－１｝
・これとは逆に現在価値を求めると
　ｎ＋１年以降の年金の現在価値を０時点での年金の現在価値から差し引けば良いのであるから、
　（ＰＭＴ／ｒ）・｛１－（１＋ｒ）^(-n)｝
2：帝王学の基本は闘争本能：2004/05/16(日) 17:56: １．２　省略
１．３　確率（基礎）

・期待収益率（expected rate of return）
　　E(x)=Σ｛p(xi)*xi｝
　※ｘ：確率変数（random variable）
　※確率変数は「平均値」と「分布具合」により測定可能
　※確率変数の平均値（mean）＝期待値（expectaion）
・分散（Variance）＝σ^2(x)＝Σ［p(xi)＊｛xi－E(x)｝^2］
・標準偏差（standard deviation）＝σ(x)＝V(x)^(1/2)
　※分散あるいは標準偏差の相対的な値が大きい場合、これを「リスクが高い」と表現する。
・ポートフォリオの期待収益率
　　E(Rp)＝W1*E(r1)＋W2*E(r2)
　※上式は、２証券（r1とr2）から構成されるポートフォリオのケース
　※一般式は、E(Rp)＝ΣWi*E(ri)
・ポートフォリオの分散
　　V(Rp)＝W1^2*V(r1)＋W2^2*V(r2)＋2*W1*W2*cov(r1,r2)
　　　　＝W1^2*σ(r1)^2＋W2^2*σ(r2)^2＋2*w1*w2*ρ(r1,r2)*σ(r1)*σ(r2)
　※cov(r1,r2)：２証券（r1,r2）の共分散
　※ρ(r1,r2)　：２証券（r1,r2）の相関係数
　※ρ(r1,r2)＝cov(r1,r2)／｛σ(r1)*σ(r2)｝
　　∴－１≦ρ(r1,r2)≦１
・チェビシェフの不等式(Chebyshev's inequity)
　　P(｜X－μ｜≧λ*σ)≦1/λ^2
　※確率変数と平均値との乖離幅がσのλ倍以上となる確率は1/λ^2以下である。
　※言い替えれば、確率変数と平均値との乖離幅がσのλ倍以下となる確率は（１－1/λ^2）以下となる。
　※チェビシェフの不等式は、確率分布の形を問わない。（もちろん、正規分布等にこだわる必要がない。）

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