とはずがたり数理解析研究所講究録

77：とはずがたり：2021/11/19(金) 23:21:55: 3次方程式の解の公式(カルダノの公式)
https://www.youtube.com/watch?v=d_fyW_fTbTk

代数学の基本定理

カルダノの公式
a x^3 + b x^2 + c x +d =0
x=y-b/3a
y=u+v
(u+v)^3+ p (u+v) +q =0

u^3+v^3+(3uv+p)(u+v)=0

ここで
u^3+v^3=-q uv=-p/3を満たす{u,v}の組みが三つ見つかれば良い。

u^3，v^3は
t^2 + q t -p^3/27=0
の解である。

u^3とv^3が得られる。対称性からu>vとしてよい。
全部で9個の候補が得られる

立方根の扱い。
x^3=1 →　x=1，ω，ω^2
一般に
x^3=a → x=a^{1/3}，a^{1/3}ω，a^{1/3}ω^2

uv=-p/3を満たす組みを調べる

u=u^{*1/3}，v=v^{*1/3}

u=u^{*1/3}ω，v=v^{*1/3}ω^2

u=u^{*1/3}ω^2，v=v^{*1/3}ω

3-2. 五次方程式が代数的に解けないわけ - 2015/5/22
https://www.youtube.com/watch?v=qwYyXtttns0
プログラマのための数学勉強会
日曜数学者辻順平

二次方程式

解についての「恒等式」をつくる

α＝(a+b)/2+(a-b)/2
β=(a+b)/2-(a-b)/2

解と係数の関係

解αとβを交換しても変わらない数

「解を交換しても不変な数」は係数abcの四則演算で書ける

二次の置換群

α-β　←2乗/平方根→　(α-β)^2

(二次の)ラグランジュ・リゾルベント

３次方程式
→３次の置換群

e・τ・σ　σ^2　τσ　τσ^2

…(略)…

五次の置換群の正規列に「これ以上分解できない巡回群ではない群」が含まれるから

【超入門】五次方程式が代数的に解けない仕組み【ガロア理論】
https://www.youtube.com/watch?v=GftLRHX6TIM

「体」が方程式を組み立てる土台

有理数の集合Ｑでは解が解けない

Ｑ((b^2-4ac)^(1/2))[体の添加]で考える事が出来る。

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