とはずがたり数理解析研究所講究録

63：とはずがたり：2020/05/13(水) 21:35:26: 物理学解体新書
ネイピア数の意味
http://www.buturigaku.net/sub03_Spot/Math/napiers_constant/napiers_constant01.html

y=a^x (a>0)を考えてx=0での傾きを考える。

y＝a^0は勿論，aの値に関わらず常にy=1である。

一方y=a^xの傾きはaの値に依存する。

a=2の時はdy/dx<1であるし，a=3の時はdy/dx>1である。この時に2<a<3の間に恰度１となる様な数が存在する事が予想される。

その数を調べて見るとa=2.71...(無理数)の時，恰度１となる。

微分の定義より

lim_{t→0}(e^{0+h}-e^0)/h=1を満たすeがそれとなる。これを変形したlim_{t→0}(e^h-1)/h=1はeの定義として良く使われる。

さてこのy=e^xは面白い性質を持つ。

(e^x)'=lim_{t→0}(e^{x+h}-e^x)/h=e^x{lim_{t→0}(e^{0+h}-e^0)/h}=e^x*1=e^x

詰まり(e^x)'=e^x！微分しても形が変わらない唯一の函数である。常にy=f(0)=1となる指数函数の内，f'(0)=1となる底eを採用したが故の性質となる。

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