情報数学のレポートに関して

8：名無しさん：2011/01/01(土) 22:43:08: ※math05_testの問2B――――――
束に関する以下の設問に答えよ。
1. 束が満たすべき 4 つの性質である、べき等律、交換律、結合律、吸収律をのべよ(すなわち、設問 2 にあるような式で表せ)。
2. 束に分配律
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
を仮定すると、双対的な分配律
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
およびモジュラ律
A∪B=B ⇒ ∀C, (A∪C)∩B=A∪(C∩B)
が得られることを示せ。
―――――――

第１回の略解
(1)
1．略
2．A∩(B∪C)
　=(A∩(A∪C))∩(B∪C)　…　(吸収律)
　=A∩((A∪C)∩(B∪C))　…　(結合律)
　=A∩((C∪A)∩(C∪B))　…　(交換律)
　=A∩(C∪(A∩B))　…　(仮定した分配律)
　=(A∪(A∩B))∩(C∪(A∩B))　…　(吸収律)
　=((A∩B)∪A)∩((A∩B)∪C)　…　(交換律)
　=(A∩B)∪(A∩C)．　…　(仮定した分配律)

　A∪B=B
　⇒任意のCに対し、
　　 A∪(C∩B)
　　 =(A∪C)∩(A∪B)　…　(仮定した分配律)
　　 =(A∪C)∩B．　…　(A∪B=Bより)

(2)
任意の分配束(L,∧,∨)が最大元M，最小元mを持つとする．
任意のx∈Aに対し，yとzがともに補元の定義を満たす，すなわち，
x∨y=x∨z=M　…　<1>
x∧y=x∧z=m　…　<2>
が成り立つとすると，
y
=y∨(y∧x)　…　(吸収律)
=y∨(x∧y)　…　(交換律)
=y∨(x∧z)　…　(<2>より)
=(y∨x)∧(y∨z)　…　(分配律)
=(x∨y)∧(y∨z)　…　(交換律)
=M∧(y∨z)　…　(<1>より)

同様に
z=M∧(y∨z)
となるのでy=z．

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