- 1 ：名前なんか必要ねぇんだよ！ ：2022/01/10(月) 16:08:56 ID:KPtG2zvw
- 面白い数学の問題を紹介したり、オリジナルの問題を出し合うスレです
ということで早速オリジナル問題を出してみるので考えてみてください
- 165 ：名前なんか必要ねぇんだよ！ ：2022/01/21(金) 02:12:35 ID:BtcvWGgU
- >>164
凄く簡略化してしまって申し訳ないです.....
LaTeXは数式を美しく文書化できる環境で、wordの数式機能をコマンド化させた物と考えて貰ってもいいかもしれません。主に大学のレポートや論文で用います。
LaTeXが梱包している特殊機能（パッケージ）は基本、最初にコマンドで『呼び出し』て用いるのですが、その中にTikZという作図機能を持つものがあります。でもコマンドがやや不十分で使いにくいんですね。
なのでemathと呼ばれる有志が作成したパッケージを手で導入して作図に使っています。これは主に教員が教材用に用いる物で、非常に充実したコマンドが揃っています。
ただ導入が少し面倒ですね...、ファイルの置場所とか公式wikiとにらめっこしながらやりました。（指示に忠実に従えばできる）また、emathの作図機能を用いる場合、emathとは別にperlと呼ばれる計算ソフトもインストールしなければなりません。まあインストールするだけですが。
emathは差し置いてもLaTeX環境は整えておくと数式を楽々と電子化できてテンション上がるので是非使ってみてください
あとTeX2imgは落ちてるフリーソフトです。texファイルを画像化してくれます。
- 166 ：名前なんか必要ねぇんだよ！ ：2022/01/21(金) 11:59:29 ID:ETj3P/yk
- らてふ派は数学に強いな
- 167 ：名前なんか必要ねぇんだよ！ ：2022/01/21(金) 16:27:29 ID:AME6chzE
- texでテフと読むの未だに納得できてない
テックスだろテックス
- 168 ：名前なんか必要ねぇんだよ！ ：2022/01/22(土) 23:29:22 ID:P9awiHoE
- 〈オリジナル問題〉
問題を考えてみたのですがどうにも答えが出なかったのでとりあえずここに投げます
1から9の数字が書かれたカードが1枚ずつ、計9枚あります
ここから4枚のカードを引き、引いた順にカードを並べ4桁の整数にします
例えば9、3、1、5の順にカードを引いた時、できる数字は9315となります
ここで9315は9でも、3でも、1でも、5でも割り切れます
このようにできる整数が各々の位の数字で割り切れるような数字は何通り作ることができるでしょうか
- 169 ：名前なんか必要ねぇんだよ！ ：2022/01/22(土) 23:31:25 ID:P9awiHoE
- この辺にぃ、うまい数論の解き方ないらしいっすよ…
場合分けもイマイチよくわからないしどうすればいいのやら
プログラム組める兄貴ならささっと総当たりで解いてくれそう
- 170 ：名前なんか必要ねぇんだよ！ ：2022/01/23(日) 00:10:43 ID:g3AFhEug
- 1000p+100q+10r+s（p,q,r,sは1~9までの互いに異なる整数）をpqrsと表記する
1の倍数は自明
2の倍数はsの奇遇だけで判断
3の倍数はp+q+r+s≡0(mod3)で判断
4の倍数はrs≡0(mod4)で判断
5の倍数はsが0か5
6の倍数は2の倍数かつ3の倍数
8の倍数はqが奇数のときrs≡0(mod8)、qが偶数のrs≡4(mod8)
9の倍数はp+q+r+s≡0(mod9)
となんか整理できそうなので7の倍数をうまく表せればいいですね（他力本願）
- 171 ：名前なんか必要ねぇんだよ！ ：2022/01/23(日) 00:45:32 ID:iAlxvv.c
- 出来る数が奇数のとき
→1.3.5.7.9のうち4つ使って条件充たす必要がある
13579の合計25から一個抜いて3or9or両方の倍数にしないといけないから
1.3.5.9の組み合わせしか無理
かつ◯◯◯5にならないといけないから
結局奇数で出来るのは6通りだけっぽいすね
偶数も同じ感じでいけるんじゃない？(眠いので放棄)
- 172 ：名前なんか必要ねぇんだよ！ ：2022/01/23(日) 01:14:32 ID:g3AFhEug
- 3248
9126
とかあるから偶数はめんどくさそうですね（適当）
139が絡んでくるだけでしょうけど
- 173 ：名前なんか必要ねぇんだよ！ ：2022/01/23(日) 02:40:42 ID:DaHtEHAo
- 多分ですが偶数が一つの場合は可能なのものがありませんね
忙しくて詳細書けませんが
あと5が含まれる場合>>171が書かれた一の位が5で他は139自由に並べるパターンしかないはずです
- 174 ：名前なんか必要ねぇんだよ！ ：2022/01/23(日) 21:12:08 ID:iAlxvv.c
- 偶数の時 5は完全に排除可能
下一桁が2，4，6，8、で場合分け
（1）下一桁が2の場合
9を必ず使うとすると残り2つの候補は9の倍数条件的に(1,6)か(3,4)（2と9で11になるため9の倍数18のために7を残り2数で作る）
(2,3,4,9)→下二桁が4で割れる○○32で2通り
(1,2,6,9)→○○○2で6通り
8を必ず使って残り2つを7以下(13467)から選ぶとすると、8の倍数条件的に並びは8奇12,8偶32,○832,8遇72,○872
8奇12→8312は3で割れないので無理、8712は7で割れないので無理
8遇32と○832→832の合計13に残りの候補数字1467どれを足しても3で割れないので無理
8遇72→8472は7で割れないので無理、8672は6で割れないので無理
○872→1,3,6を入れても7で割れない 4872は7で割れるので1通り
7を必ず使って6以下(1346)から残り2つを選ぶとすると、2と7の合計が9なので3と6を使う場合は必ずこの2ペアで入れる必要がある
36を使う→3672,3762,6372,6732,7362,7632→どれも7で割れないので無理
36を使わない→（1,2,4,7)→4で割れるのは1472か4172だが更に7で割れるのは4172のみで1通り
6を必ず使って4以下(134)から残り2つを選ぶと、3の倍数条件的に残りの選び方は1.3か3.4
(1,2,3,6)→○○○2で6通り
(2,3,4,6)→4の倍数になる○○32で2通り
4以下で3つ選ぶのは(1,2,3,4)→3で割れないので無理
よって下一桁が2になる場合は計18通り
あとは下一桁が4の場合と6の場合と8の場合を考えればいいゾ(放棄)
こんなやり方じゃ数学になんないよ(呆れ)
- 175 ：名前なんか必要ねぇんだよ！ ：2022/01/23(日) 21:32:42 ID:iAlxvv.c
- 4の場合は○○24、○○64、○○84
8の場合は○奇28、○奇68、○遇48
6の場合は残りが1,2,3,4,7,8,9の中で和が3の倍数になる3数
って感じで2よりはふるいにかけやすそうっすね
- 176 ：名前なんか必要ねぇんだよ！ ：2022/01/23(日) 21:50:35 ID:g3AFhEug
- 7があまりにも悪さをしている、訴訟
高校生のホモのみんなは13×7=91とか17×7=119とかが整数の問題では頻出なので覚えておきましょう
- 177 ：名前なんか必要ねぇんだよ！ ：2022/01/23(日) 22:04:34 ID:DaHtEHAo
- >>170の表記を採用して考えます
(1)５が含まれる場合
もし他に偶数が含まれているとabcdは10の倍数となり、d=0となるので矛盾。
よって他の数字は全て奇数(1,3,7,9)となります。
(1-i)更に9を含む場合
(1+3+7+9+5)-(1or3or7)≡0 (mod9)
となるので1,3,9,5の組み合わせのみが可能となる。5の倍数なので一桁目は5、他は自由とわかる。よって6通りが見つかる。
(1-ii)更に9を含まない場合
1,3,7,5で作りたいが、3の倍数であるべきにも拘らず1+3+7+5=16は三の倍数ではないので不可能。
(1)より5を含む場合、1395および1,3,9を自由に交代した計6通りが可能である。
以下からは1,2,3,4,6,7,8,9の組み合わせから考えればよい。
(2)全て奇数の場合
1,3,7,9で作られるが、1+3+7+9=20は3の倍数ではないので不可能。よって存在しない
(3)全て偶数の場合
2,4,6,8で作られるが、6が含まれるので少なくとも3の倍数になる。一方2+4+6+8=20より3の倍数ではないので不可能。よって存在しない。
補題(a)：１の位は必ず偶数
もし１の位（d）が奇数の場合、abcdは奇数なので、二で割り切れない。よってa,b,cは奇数。しかし(2)からそのようなabcdは存在しないので、dは必ず偶数になる事が分かる。
(4)偶数が一つの場合。
補題(a)より１の位が偶数となる。他の位は1,3,7,9から三つ選ばれる。
(4-i)更に9が含まれる場合。
1+3+7+9+d(偶数)-(1or3or7)=20+d-(1or3or7)≡0 (mod9)
この時、20+d-(1or3or7)は必ず奇数なので、これは9or27が有り得る。9を目標として最小条件を考えるとd=2とし減算は7を行うので、20+2-7=15で9には届かない。
よって27を目標とすべきであり、その条件に合致するのはd=8で1を使わないパターンである。つまり、3,7,8,9を用いて考える。
補題(a)から一の位が8であり、また8の倍数となるので、100b+10c≡0 (mod8)となる。更に変形して、4b+2c≡0(mod8)⇒2b+c≡0(mod4)しかし、最後の式でb,cが奇数だから左辺は奇数、一方左辺は偶数なので不適。
よって3,7,8,9で適切なabcdは作れない。
(4-ii)9が含まれない場合。
（省略されました・・全てを読むにはここを押してください）
- 178 ：名前なんか必要ねぇんだよ！ ：2022/01/23(日) 22:05:56 ID:g3AFhEug
- >>80の出題者なのでせっかくだからつかうと
∑10^kA_k(A_nは0~9までの整数をとる)が7の倍数である条件は
∑(7+3)^kA_kなので、二項定理より与式=7d+∑3^kA_kが7の倍数
∑3^kA_k≡0(mod7)と求められるので
27p+9q+3r+s≡0(mod7)なら7の倍数です
直接7で割ったほうが早いのはそのとおりです
- 179 ：名前なんか必要ねぇんだよ！ ：2022/01/23(日) 22:19:15 ID:DaHtEHAo
- >>177
長いので纏めを書いておきます
・5が含まれる場合は、1,3,9,5のパターンのみ可能であり、以後５を除いた数字のみを考えればいい。
―――以下、5は考えない――
・全て奇数の場合は有り得ない
・全て偶数の場合は有り得ない。
・一の位は必ず偶数
・偶数が一つの場合は有り得ない。
以上です。
- 180 ：名前なんか必要ねぇんだよ！ ：2022/01/23(日) 22:20:50 ID:g3AFhEug
- 6p+2q+3r+s≡0(mod7)は3や9とのテストに使えるのとsは偶数の性質が役に立つかもしれない（適当）
- 181 ：名前なんか必要ねぇんだよ！ ：2022/01/23(日) 22:29:42 ID:vth82seA
- >>176 「すべてがFになる」の真賀田博士を思い出しますねぇ！
それはともかく前提条件は簡単なのにここまで複雑になるんですね…
- 182 ：名前なんか必要ねぇんだよ！ ：2022/01/24(月) 19:34:20 ID:rTmDWDas
- >>174 氏と>>175氏の提言にならって下一桁が4の場合をやってみました
(2)下一桁が4の場合
この場合、abcd自体が4で割り切れなければいけないので○○24、○○64、○○84の三パターンある
ⅰ)○○24の場合
9を使うとすると、9の倍数条件より残りは3が確定する
よって3924、9324の2通り
8を使うとすると(残りは8以下とする)、倍数条件より下3桁が8の倍数でないといけないため下一桁は624、824のみとなるが、8624は不適(∵6の倍数ではない)。1824のみ。1通り。
7を必ず使うとすると(残りは6以下)、下二桁が24となる4桁の7の倍数は1624、2324、3024、3724、4424、5124、5824、6524、7224、7924、8624、9324のみ。この中に条件を満たす数はない。
6を必ず使うとすると、6の倍数条件から残りは3のみ。よって3624、6324のみ。2通り。
4以下から4つ選ぶのは不適。
ⅱ)○○64のとき
6の倍数条件から○+○＝8 or 14なので可能性としては(1、７)のみ(∵14の時は全て数字が被る)。ここから条件に適するのは1764のみ。1通り
ⅲ)○○84のとき
8の倍数条件から下3桁は184、384、784、984のみ。
このうち784は7の倍数なので4桁にすると7の倍数になる数として不適。
○184→2184のみ
○384→6384のみ(∵3の倍数条件)
○984→6984のみ(∵9の倍数条件)
よって3通り
ⅰ)～ⅲ）より条件を満たす下一桁が4の数は9通り。
（省略されました・・全てを読むにはここを押してください）
- 183 ：名前なんか必要ねぇんだよ！ ：2022/01/24(月) 20:44:01 ID:VwyG5TqY
- 昨日途中放棄した人間の屑です
続きやってくれるホモがいるとはたまげたなぁ
せっかくやって頂いたので茶々を入れさせてもらうと、
◯◯24で(7,2,4)と残り1つ(6,5,3,1)を検討してるところは
先に6,5,3を3の倍数や5の倍数条件的に候補から外せばより楽かな？と思います
解き方の話なのでほんとにただの茶々です
7くんが基本邪魔してくるけどたまにデレてくれるの楽しいですよね(錯乱)
- 184 ：名前なんか必要ねぇんだよ！ ：2022/01/24(月) 23:15:35 ID:VwyG5TqY
- 続きに触発されたので再続行して完走しました。
(3)一桁目が6の場合
9を必ず使って残り2つを8以下(123478)から選ぶとすると、残り候補は(1,2)か(4,8) (∵69の和が15なので9の倍数条件的に残り2数の和が3or12)
(1,2,9)6→○○○6の6通り
(4,8,9)6→8の倍数条件的に○○96の2通り
8を必ず使って残り2つを7以下(12347)から選ぶとすると、8の倍数条件的に並びは○偶16,8奇36,8奇76
○偶16→168を使うと3の倍数条件的に残りは3のみ→8316の1通り
8奇36→3の倍数条件的に考えても1か7が候補になるが8736は7で…割れてんだよなあ！よおなあ！(歓喜)→8136と8736の2通り
8奇76→3の倍数条件的に候補は3のみだが8376は7で割れないので無理
7を必ず使って残り2つを4以下(1234)から選ぶとすると、残り候補は3の倍数条件的に(1,4)か(2，3)
(1,4,7)6→4の倍数条件的に4716,7416,1476,4176→いずれも７で割れないので無理
(2,3,7)6→2376,2736,3276,3726,7236,7326→3276だけ7で割れます。かわいいねえ3276くん→1通り
4を必ず使って残り2つを3以下(123)から選ぶとすると、残り候補は3の倍数条件的に(2,3)
(2,3,4)6→4の倍数条件的に○○36の2通り
よって一桁目が6の場合の数は14通り
一桁目が8の場合 8の倍数条件的に○奇28、○奇68、○偶48に限られる
ⅰ)○奇28に(1,3,4,6,7,9)から2数選んで入れる場合
9を入れるとき→928の合計が19となり、9の倍数条件的に残りの数では無理
9以外(1,3,4,6,7)から選ぶと候補は○128,○328,○728
○128→3,4,6,7のうち3の倍数条件的に3,6は無理、7128も7で割れない →4の倍数条件を充たす4128の1通り
○328→3の倍数条件的に無理
○728→728自体が7で割れてしまうため何を入れても7で割れないので無理
ⅱ)○奇68に(1,2,3,4,7,9)から2数選んで入れる場合
（省略されました・・全てを読むにはここを押してください）
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