東大の授業で奮闘するスレ - 1113833563

328：臺地 ◆6rqpPuO9q2：2007/03/13(火) 22:18:13: Lem2.10
E1,・・・,En∈Lは互いに素　
A⊂Rに対し、m*(A∩{∪[j=1,n]Ej})=Σ[j=1,n]m*(A∩Ej)
特にA=Rとして、m({∪Ej})=Σm(Ej)(Lem2.9より∪Ej∈Lに注意)

証明
帰納法。n=1は明らか。n-1まで正しいとする：m*(A∩{∪[j=1,n-1]Ej})=Σ[j=1,n-1]m*(A∩Ej)。
En∈Lより、m*(A∩∪[j=1,n]Ej)=m*(A∩(∪[j=1,n]Ej)∩En)+m*(A∩(∪[j=1,n]Ej)∩En^c)
(∪[j=1,n]Ej)∩En=Enで、(∪[j=1,n]Ej)∩En^c=∪[j=1,n-1]Ejより右辺=m*(A∩En)+Σ[j=1,n-1]m*(A∩Ej)
なので示された。
329：臺地 ◆6rqpPuO9q2：2007/03/13(火) 22:51:38: Lem2.11
E1,E2,・・・∈Lなら、∪[n=1,∞]En∈Lである。
E1,E2,・・・が互いに素なら、m(∪En)=Σ[n=1,∞]m(En)

証明
E1∩E2≠φだとしても、E2'=E2＼E1=E2∩E1^c=(E2^c∪E1)^c(これは可測)とかおいて互いに素
なものに切り離せるので、初めからE1,・・・は互いに素としてよい。

∀A∈2^ Rをとり、m*(A∩∪En)+m*(A∩∩En^c)≦m*(A)を示す。
A∩∪En=∪(A∩En)で、劣加法性、単調性より、
左辺≦Σ[j=1,∞]m*(A∩Ej)+m*(A∩∩[j=1,∞]Ej^c)=sup[n≧1]Σ[j=1,n]m*(A∩Ej)+m*(A∩∩[j=1,n]Ej^c)
これがm*(A)以下であることを示せばよい。

ここで、Lem2.10より、∀n≧1に対し、
Σ[j=1,n]m*(A∩Ej)+m*(A∩∩[j=1,n]Ej^c)=m*(A∩∪[j=1,n]Ej)+m*(A∩∩[j=1,n]Ej^c)=m*(A)なのでOK。
330：臺地 ◆6rqpPuO9q2：2007/03/13(火) 23:31:37: 外測度
区間I(端点はa<b)に対し、その長さ|I|:=b-aで定義。
Def2.1
A⊂Rに対し、Aを覆う加算個の開区間の、長さの総和の下限をm*(A)と書きルベーグ外測度という。
つまり、P_A=｛(In)_n∈N｜Inは開区間でA⊂∪[n=1,∞]In｝、Q_A=｛Σ[n=1,∞]|In|｜(In)∈P_A｝(+∞も許可)
とおいたとき、m*(A)=inf_[(In)∈P_A]Q_Aである。

Th'm2.2.3)劣加法性
A1,・・・⊂Rに対し、m*(∪[j=1,∞]Aj)≦Σ[j=1,∞]m*(Aj)

証明の方針
∪[j=1,∞]Ajを覆う区間列で、その長さの総和がΣ[j=1,∞]m*(Aj)くらいになる奴を作れればおｋ。
各jに対し、Aj⊂∪[n=1,∞]Injとなる区間Injたちをとってくる。ただしΣ[n=1,∞]|Inj|≦m*(Aj)+(小)となるようにする。
すると∪Aj⊂∪[n,j≧1]Injであって、m*(∪[j=1,∞]Aj)≦Σ[n,j≧1]|Inj|≦Σ[j=1,∞]m*(Aj)+Σ[j=1,∞](小)となる。

余計なΣ(小)の項は、m*(∪[j=1,∞]Aj)やΣ[j=1,∞]m*(Aj)とは独立に、いくらでも小さくできるようにしなくてはいけない。
任意のε>0をとり、Σ[j=1,∞](小)=εとなるようにするには・・・(小)=ε/2^jとしておけばいい。
332：臺地 ◆6rqpPuO9q2：2007/05/02(水) 23:32:00: 授業が始まって1ヶ月・・・まずい・・・早くも落ちこぼれそうだ。

ルベーグ積分：演習問題が解けず、たまっていく
多様体：演習問題が難しい・・
複素解析：講義すら、聴いただけでは理解不能。復習すべきノートのページがたまっていく・・・
　　　　　　　演習問題は手も足も出ない問題ばかり。
代数：演習問題がたまってる。
数値計算：プログラミングが全然わからん。
統計：演習問題に取り組めていない。

全体的に、講義はまだいいのだが、演習問題についていけてない。
どの問題も難しく見えてびびってしまっている。
９スレ時代のような、粘り強く取り組む姿勢が欠けてきているのが一番の問題点。
333： ◆ZFABCDEYl.：2007/05/03(木) 00:42:25: >>332
統計ってどこら辺まで？
分散分析まで？

勉強大変そうでつね・・。僕の場合，「勉強」らしい「勉強」というものは
だんだんなくなっていくから，ある意味ラクじゃよ。

しっかし，本当に数学科は大変なところじゃな・・。
でも台地氏は総代で卒業するじゃろうと期待しております。
僕の場合はブービー賞を狙ってます。
334：臺地 ◆6rqpPuO9q2：2007/05/03(木) 23:01:18: >>333
統計は今のところ高校の復習+αって感じだね。
確率変数の独立とか、二項分布とか、母関数とかそんなとこ。
ルベーグ積分は未習なので、測度論を使った本格的な確率論は冬学期からです。
335： ◆ZFABCDEYl.：2007/05/04(金) 00:05:52: >>334
僕の場合，『使い方』だけを覚えただけであります！
理論式のような見ちゃいけない所は見ておりませぬ。

でも台地氏，とても難しいものを学んでいて立派じゃ。
今の僕にとって数学の接点はカテキョだけ。
カテキョ女子はとても吸収性に富んでいるので，
僕はロリ江とあだ名をつけました。なぜか彼女は喜んでおります。
青チャートを中心にして，別に補うところはノートを作って教えています。
英語は構文把握能力は身についていることが分かりました。
あとは単語とイディオムの量と，返り読みをしない癖をつけさせる
ことだけで大丈夫そう。高２か高３で英検２級は取れると思います。
僕は高３のとき準１に墜ちたので，彼女も２級までじゃ！って感じです。
336： ◆ZFABCDEYl.：2007/05/04(金) 00:13:28: >ルベーグ積分

図書館でこのタイトルがついた本を見たことがある！
（シリーズ本のなかの１冊だった）

演習問題っていうのは先生が作った問題なんですか？
それとも本の章末問題のような奴？
337：Мечислав(☆12) ◆QRDTxrDxh6：2007/05/06(日) 05:47:14: >>332
講義、聴いただけで分かる人はまあいません。
復習をしっかりしましょう。
演習問題はできそうなのからやってくほかないですね。